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放物線(準線・焦点・媒介変数表示・極方程式・接線)【北海道大】

放物線【準線・焦点・媒介変数表示・極方程式・接線】数学III
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放物線とは,字の通り投げた物体が描く軌跡のことですが,数学的には,準線と呼ばれる直線 $l$ と $l$ 上にない焦点と呼ばれる1点Fが与えられるとき,準線 $l$ と焦点Fから等距離にある点の軌跡として定義されます。

放物線を数学Iで学習するときは,主に頂点や軸に着目しますが,ここでは準線や焦点に着目します。

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放物線の準線と焦点

ヒロ
ヒロ

準線が $x$ 軸に平行な場合を考えてみよう。

放物線上の点を $\mathrm{P}(x,~y)$,準線を $y=-p$,焦点を $\mathrm{F}(0,~p)$ とすると,点Pは準線と焦点から等距離の位置にあるから
\begin{align*}
&\abs{y-(-p)}=\sqrt{x^2+(y-p)^2}
\end{align*}
両辺を2乗すると
\begin{align*}
&(y+p)^2=x^2+(y-p)^2 \\[4pt]&x^2=4py
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に準線が $y$ 軸に平行な場合を考えてみよう。

放物線上の点を $\mathrm{P}(x,~y)$,準線を $x=-p$,焦点を $\mathrm{F}(p,~0)$ とすると,点Pは準線と焦点から等距離の位置にあるから
\begin{align*}
&\abs{x-(-p)}=\sqrt{(x-p)^2+y^2}
\end{align*}
両辺を2乗すると
\begin{align*}
&(x+p)^2=(x-p)^2+y^2 \\[4pt]&y^2=4px
\end{align*}

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