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部分分数分解を速くする方法とは?

部分分数分解を速くする方法とは?数学III
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部分分数分解を速く行う方法を説明していきます。考え方や手法を変えることで,数学Ⅲの積分問題で出題される分数式を楽に速く部分分数分解することができるようになります。

数学Bの数列のシグマ計算に出てくるような分数式の場合は,サクッと部分分数分解できる人も多いのですが,数学Ⅲの積分に出てくるやや複雑な分数式では,そんなに簡単にはできず,多くの方が一旦文字で置いて整理して連立方程式を解くという面倒な方法で部分分数分解をしているのが現状です。この記事を読んだ後は,もうそんな面倒な方法でやらなくても良くなります。

一旦,次の問題を解いてみて下さい。その後続きを読んで,部分分数分解の手法・考え方・速さが変わることを感じて下さい。

問題次の不定積分を求めよ。
\begin{align*}
&(1)\ \int\frac{x^2+1}{x^2+3x}\;dx \\[4pt]
&(2)\ \int\frac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\;dx \\[4pt]
&(3)\ \int\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx
\end{align*}
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分数式を部分分数分解して積分しよう

やり方忘れました・・・

ヒロ
ヒロ

何もかも全部?何か考えたんじゃないの?

一応,部分分数分解をしようとしたんですけど,上手くいきませんでした。

ヒロ
ヒロ

最初にすることを忘れてるね。まずは次数チェックをしよう!

ヒロ
ヒロ

分数式を変形するときは,部分分数分解をする前にすることがある。

ヒロ
ヒロ

まず,分子と分母の次数を見て,分子の次数が分母の次数と等しいか大きかったら,分子の次数が分母の次数より小さくなるように変形しないとダメだよ。

分数式の変形の原則$(分子の次数)<(分母の次数)$ となるように変形しなければならない。
ヒロ
ヒロ

小学校のときに仮分数を帯分数にする練習をしたよね?

あ~~懐かしいですね。帯分数とかありましたね。

ヒロ
ヒロ

でも分数式を扱うときには,その変形を常にする感覚だね。分子の次数を下げること以外に明確な意図がなければ,この原則に従って変形するんだって覚えておこう。

ヒロ
ヒロ

あと,この変形をした後にすぐに部分分数分解を考えるんじゃないよ?

え?そうなんですか?

ヒロ
ヒロ

分数式の不定積分をするときに考えることをまとめておくよ。

分数式の不定積分で考えること
  1. $(分子の次数)<(分母の次数)$ となるように変形する。
  2. $\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形に変形する。
  3. 分母が因数分解できるときは部分分数分解をする。
  4. 置換積分をする。

じゃあ,(1) は分子の次数が分母の次数より小さくなるように変形することから始めるんですね。

ヒロ
ヒロ

そうだね。

やってみます!

\begin{align*}
x^2+1=(x^2+3x)\cdot1-3x+1
\end{align*}
となるから,両辺を $x^2+3x$ で割って
\begin{align*}
\frac{x^2+1}{x^2+3x}=1+\frac{-3x+1}{x^2+3x}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $\displaystyle\frac{-3x+1}{x^2+3x}$ を $\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形にできるかどうかを確認しよう。

はい。分母を微分して確かめてみます。$(x^2+3x)’=2x+3$ となって,$-3x+1$ は $2x+3$ の定数倍じゃないので, $\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形にはできません。

ヒロ
ヒロ

そうだね。もし,最初の式が $\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x^2+3x}$ だと次のようになるから注意しよう。

【部分分数分解しなくても良い例】
\begin{align*}
&\frac{x^2-x-6}{x^2+3x}=1+\frac{-4x-6}{x^2+3x} \\[4pt]&=1-2\cdot\frac{2x+3}{x^2+3x} \\[4pt]&=1-2\cdot\frac{(x^2+3x)’}{x^2+3x}
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
&\int\frac{x^2-x-6}{x^2+3x}\;dx=\int\left\{1-2\cdot\frac{(x^2+3x)’}{x^2+3x}\right\}dx \\[4pt]&=x-2\log|x^2+3x|+C
\end{align*}
ただし,$C$ は積分定数とする。

分母が因数分解できるからって,すぐに部分分数分解を考えるのは遠回りになりますね。

ヒロ
ヒロ

毎回「$C$ は積分定数」って書くのも面倒なので,次からは省略するよ。

ヒロ
ヒロ

次に $\displaystyle\frac{-3x+1}{x^2+3x}$ の分母に着目すると,因数分解できるから部分分数分解をしよう。

まず,$\displaystyle\frac{-3x+1}{x^2+3x}=\frac{-3x+1}{x(x+3)}$ と分母を因数分解します。

\begin{align*}
\frac{-3x+1}{x(x+3)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+3}
\end{align*}
とおく。分母を払って,
\begin{align*}
&-3x+1=a(x+3)+bx \\[4pt]&-3x+1=(a+b)x+3a
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\begin{cases}
a+b=-3 \\[4pt]3a=1
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて,$\displaystyle a=\frac{1}{3},~b=-\frac{10}{3}$
よって,
\begin{align*}
&\int\frac{x^2+1}{x^2+3x}\;dx=\int\left(1+\frac{\frac{1}{3}}{x}-\frac{\frac{10}{3}}{x+3}\right)dx \\[4pt]&=x+\frac{1}{3}\log|x|-\frac{10}{3}\log|x+3|+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

完璧だね。

部分分数分解を暗算でやってる人がいるんですけど,あれってどうやってるんですか?

部分分数分解を楽に速くする方法

ヒロ
ヒロ

それでは部分分数分解を楽に速くする方法を説明していくことにしよう。

\begin{align*}
\frac{-3x+1}{x(x+3)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+3}
\end{align*}
$a$ を求める場合は,元の式で分母の $x$ を手で隠して残りの部分に,隠した式が0になる $x$ の値,つまり $x=0$ を代入しよう。

部分分数分解 aの値
$b$ を求める場合は,元の式で分母の $x+3$ を手で隠して残りの部分に,隠した式が0になる $x$ の値,つまり $x=-3$ を代入しよう。

部分分数分解 bの値

めちゃくちゃ簡単ですね!

ヒロ
ヒロ

積分の問題では,部分分数分解をする過程を書く必要はないから,これでスピードアップ間違いなしだね。

部分分数分解を速くできる理由を知ろう!

ヒロ
ヒロ

次に,何故こんな方法で $a,b$ の値を求めることができて,部分分数分解することができるのかを理解しよう。

\begin{align*}
\frac{-3x+1}{x(x+3)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+3}
\end{align*}
の両辺に $x$ を掛けると
\begin{align*}
\frac{-3x+1}{x+3}=a+\frac{x}{x+3}b
\end{align*}
ここで,$x=0$ を代入すると,$b$ の項が0になるから,$\displaystyle a=\frac{1}{3}$ となる。
これは結局は,元の分数式の $x$ を手で隠して,隠した式が0になる $x$ を代入することと同じってこと。$b$ を求めたい場合は,元の式の両辺に $x+3$ 掛けて
\begin{align*}
\frac{-3x+1}{x}=\frac{x+3}{x}a+b
\end{align*}
ここで,$x=-3$ を代入すると,$a$ の項が0になるから,$\displaystyle b=-\frac{10}{3}$ となる。

なるほど!分かりました。

ヒロ
ヒロ

これで (2) は速く解けるね!

部分分数分解の練習

じゃあ (2) を解いてみます。

【部分分数分解のメモ】

部分分数分解 a,b,cの値

【 (2) の解答】
\begin{align*}
&\int\frac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\,dx=\int\left(\frac{\frac{1}{6}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x+2}
+\frac{-\frac{2}{3}}{x+3}\right)dx \\[4pt]
&=\frac{1}{6}\log|x|+\frac{1}{2}\log|x+2|-\frac{2}{3}\log|x+3|+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

慣れれば手で隠して,簡単に部分分数分解できるようになるよ!

頑張ります!

2乗の因数を含む分数式の部分分数分解を簡単にする方法

(3) のような場合はどうやって簡単にするんですか?

ヒロ
ヒロ

まずは係数を文字で置いておこうか。

\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\displaystyle\frac{b}{x+2}$ の項が必要なことに注意しよう。

ヒロ
ヒロ

$a$ と $c$ はさっきと同じようにして簡単に求めることができるよ。

部分分数分解 a,cの値

おお!あとは $b$ ですね!

ヒロ
ヒロ

残りの $b$ を求める方法は色々あるんだけど,ここでは $x$ に適当な値を代入する方法を紹介しておくね。

\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}
\end{align*}
ここで,$x=0$ とすると,
\begin{align*}
&\frac{3}{(-1)\cdot4}=-\frac{1}{3}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4} \\[4pt]
&-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}+b-\frac{1}{2} \\[4pt]
&b=\frac{-9+4+3}{6}=-\frac{1}{3}
\end{align*}

なるほど!残りが1文字だから $x$ に適当な値を入れれば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

今回なら $-2$ 以外の値を代入すればいいね。0を代入できるときは0を入れるのが楽だね。あとの積分はやっといてくれるかな?

任せて下さい。

\begin{align*}
&\int\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx=\int\left\{\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}\right\}\;dx \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log|x-1|-\frac{1}{3}\log|x+2|+\frac{1}{x+2}+C \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{x+2}+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

よし!大丈夫だね!

自分で分数式を作って部分分数分解の練習をしよう!

ヒロ
ヒロ

部分分数分解をもっとしたいっていう人は,自分で適当な分数式を作って練習してみよう。合っているかどうかは通分すればいいね!

あの~・・・答え合わせを自分で通分してするんですか?それは面倒なんですけど・・・

ヒロ
ヒロ

しょうがないなぁ・・・僕が毎回見るわけにもいかないから,ここで答え合わせをしてくれ。

ヒロ
ヒロ

全部英語で書かれているけど,大丈夫でしょう!

partial fraction decomposition calculator の使い方
  1. 「Enter the numerator」の部分に分子を入力
  2. 「Enter the denominator」の部分に分母を入力
  3. 「CALCULATE」ボタンを押す

たった3手順なんですね!

文字で置いて連立方程式を解くっていう普通の解法の過程が全部出てくるのも良いですね!

ヒロ
ヒロ

どんどん練習しよう!

これで宿題も楽にできますね!

ヒロ
ヒロ

おいおい・・・

冗談ですよ!

部分分数分解を速くする方法のまとめ

ヒロ
ヒロ

数学Ⅲの積分で出てくる部分分数分解はこれですべてではないけど,最低限これだけ押さえておけばそんなに困ることもないだろう!

ヒロ
ヒロ

部分分数分解を速くする方法を知ることで,計算にかける時間を少なくすることができる。そのため,より多くの時間を考えることに使うことができるようになるため,点数が上がることは間違いないだろう。

ヒロ
ヒロ

合言葉は「手で隠して代入」だ。これを押さえておけばこれを知らない人に速さで負けることはない!

これでバッチリです!

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