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n個のボールを3つの箱に入れる問題【1996年 東京大】

n個のボールを3つの箱に入れる問題数学IAIIB

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(4)の解説

$n$ が6の倍数 $6m$ であるとき,互いに区別のつかない $n$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

ボールも箱も区別をしないから,基本的に数え上げるしかない。ちなみに前回の(1)のタイプ。
まずは3つの箱に入っているボールの個数を文字で設定しよう。

3つの箱にそれぞれ $x$ 個,$y$ 個,$z$ 個入っているとすると,
\begin{align*}
x+y+z=6m~~(x\geqq0,~y\geqq0,~z\geqq0)~\cdots\cdots②
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

3つの箱に入っているボールの個数で大きく分類すると次のようになる。

(i) 3つの箱に入っているボールの個数が等しい。
(ii) 1つの箱に入っているボールの個数が他の2つの箱と異なる。
(iii) 3つの箱に入っているボールの個数がすべて異なる。
ヒロ
ヒロ

1つずつ処理していこう。

(i) $x=y=z$ のとき
\begin{align*}
(x,~y,~z)=(2m,~2m,~2m)
\end{align*}
の1通り。
ヒロ
ヒロ

次は(ii)のタイプを数えよう。箱に区別がないから,$x\neq y=z$ としても構わないね。このように,ある特殊な場合だけを考えても議論に影響がないとき「一般性を失わない」というのを覚えておこう。

(ii) $x,~y,~z$ のうち2つが等しいとき
$x\neq y=z$ のときを考えても一般性を失わない。
②より
\begin{align*}
&x+2y=6m \\[4pt]
&x=6m-2y
\end{align*}
$x\geqq0$ より
\begin{align*}
&6m-2y\geqq0 \\[4pt]
&y\leq3m
\end{align*}
$x\neq y$ より
\begin{align*}
&6m-2y\neq y \\[4pt]
&y\neq 2m
\end{align*}
よって
\begin{align*}
y=0,1,\cdots,2m-1,2m+1,\cdots,3m
\end{align*}
となり,$3m$ 通り。
ヒロ
ヒロ

最後に(iii)のタイプを数えよう。

(iii) $x<y<z$ のとき
②より $z=6m-(x+y)$ だから,
\begin{align*}
&0\leqq x<y<6m-(x+y) \\[4pt]
&\begin{cases}
0\leqq x<y &~\cdots\cdots③ \\[4pt]
0\leqq x<-2y+6m &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

③と④を同時に満たす $(x,~y)$ が何組存在するかを考えよう。$(x,~y)$ の組が決定すれば自動的に $z$ の値は決まるため,$(x,~y)$ の組の個数がそのまま $(x,~y,~z)$ の組の個数になる。

$y$ と $-2y+6m$ の大小を考えることが重要。
もし $y$ の方が小さければ,③かつ④は③になる。そして,このとき
\begin{align*}
&y\leqq-2y+6m \\[4pt]
&y\leqq2m
\end{align*}
逆に $-2y+6m$ の方が小さければ,③かつ④は④になる。
ヒロ
ヒロ

解答を進めよう。

$y=k~(1\leqq k\leqq2m)$ のとき,③,④を満たす $(x,~y)$ の組の個数は $k$ である。
また,$y=k~(2m+1\leqq k\leqq3m-1)$ のとき,③,④を満たす $(x,~y)$ の組の個数は $-2k+6m$ であるから,②を満たす $x,~y,~z$ の組の個数は
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{2m}k+\Sum{k=2m+1}{3m-1}(-2k+6m) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota2m(2m+1)+\dfrac{(2m-2)+2}{2}\Cdota(m-1) \\[4pt]
&=m(2m+1)+m(m-1) \\[4pt]
&=3m^2
\end{align*}
以上(i)~(iii)より,
\begin{align*}
3m^2+3m+1~通り
\end{align*}

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