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【数学ⅡB】等比数列の一般項と和【松山大】

等比数列の一般項と和数学IAIIB

等比数列の一般項と和について説明します。

まず,等比数列とはどのような数列かを理解することが重要です。

大学入試において,等比数列の一般項だけを求める問題は少なく,一般項を求めてからが本番という問題が多いのですが,一般項を正しく求めることができないと大失点につながるため,一般項を正確に求めることができるようにすることが大切です。

また,等比数列の和の公式については,その求め方を理解することが重要です。さらに難しい数列の和を求めるときに役に立ちます。

等比数列の一般項と和を正確に求められるようにしましょう。

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等比数列の一般項と和

ヒロ
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等比数列の定義は次の通りである。

等比数列隣り合う2項の比が一定の数列を等比数列という。また,隣り合う2項の比を公比という。
ヒロ
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次に等比数列の一般項は次のように求めることができる。

初項 $a$,公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項を $a_n$ とする。初項に公比を1回かけると第2項になり,初項に公比を2回かけると第3項になることを考えると,初項に公比を $n-1$ 回かけると第 $n$ 項になることが分かるから,一般項は
\begin{align*}
a_n=a\Cdota r^{n-1}
\end{align*}
となる。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると
\begin{align*}
S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}
①の両辺に $r$ をかけると
\begin{align*}
rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
(1-r)S_n=a(1-r^n)~\cdots\cdots②
\end{align*}
$1-r$ が0かどうかで場合分けしよう。
(i) $r=1$ のとき
①より
\begin{align*}
S_n&=\overbrace{a+a+\cdots+a}^{n個}=an
\end{align*}
(ii) $r\neq1$ のとき
②より
\begin{align*}
S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{align*}

2021年 松山大

2021年 松山大初項から第3項までの和が28,初項から第6項までの和が $-728$ であるとき,この等比数列の初項は $\myhako$ であり,公比は $\myhako$ である。ただし,公比は実数とする。
【解答と考え方】
この等比数列の初項を $a$,公比を $r$ とする。初項から第3項までの和が28であるから
\begin{align*}
&a+ar+ar^2=28~\cdots\cdots①
\end{align*}
初項から第6項までの和が $-728$ であるから
\begin{align*}
&a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=-728 \\[4pt]
&(a+ar+ar^2)+r^3(a+ar+ar^2)=-728
\end{align*}
①より
\begin{align*}
&28+28r^3=-728 \\[4pt]
&28r^3=-756 \\[4pt]
&r^3=-27
\end{align*}
$r$ は実数だから,$r=-3$
このとき①より
\begin{align*}
&a-3a+9a=28 \\[4pt]
&7a=28 \\[4pt]
&a=4
\end{align*}
よって,初項は4,公比は $-3$ である。
等比数列は途中からでも等比数列である。
ヒロ
ヒロ

今回の問題では,初項から第6項までの和を初項から第3項までの和と第4項から第6項までの和に分けることで,公比 $r^3$ の等比数列と見ることもできる。

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