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n個のボールを3つの箱に入れる問題【1996年 東京大】

n個のボールを3つの箱に入れる問題数学IAIIB
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(2)の解説

互いに区別のつかない $n$ 個のボールを,A, B, Cと区別された3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

ボールを区別せず箱を区別して考えるから,仕切りで分ける方法を考えれば良い。ちなみに前回の(3)のタイプ。

$n$ 個のボールを2つの仕切りで区切って左からA, B, Cの箱に入れれば良いから,求める場合の数は $n$ 個の〇と2つの|の並べ方の総数に等しい。
\begin{align*}
\nCk{n+2}{2}=\dfrac{1}{2}(n+2)(n+1)~通り
\end{align*}

(3)の解説

1から $n$ まで異なる番号のついた $n$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

ボールを区別して箱を区別しないから,ボールが入っている箱の個数で分類すれば良い。ちなみに前回の(7)のタイプ。

(i) 1つの箱に入れるとき
箱を区別しないから,$n$ 個のボールを1つの箱に入れる方法は1通り。
(ii) 2つの箱に入れるとき
2つの箱をA, Bと区別して考えると,各ボールについて,
それぞれA, Bの2つの箱に入れる場合が考えられるから,$2^n$ 通り。
ただし,この中にはどちらか一方の箱に入れる場合の2通りが含まれているから,$2^n-2$ 通り。
2つの箱の区別をなくして
\begin{align*}
\dfrac{2^n-2}{2}=2^{n-1}-1~通り
\end{align*}
(iii) 1つも空箱がない場合
3つの箱をA, B, Cと区別して考えると,各ボールについて,
それぞれA, B, Cの3つの箱に入れる場合が考えられるから,$3^n$ 通り。
ただし,この中には2つの箱に入れる場合と1つの箱に入れる場合が含まれているから,それらを除いて,$3^n-3(2^n-2)-3$ 通り。
3つの箱の区別をなくして
\begin{align*}
\dfrac{3^n-3(2^n-2)-3}{3!}=\dfrac{3^{n-1}-2^n+1}{2}~通り
\end{align*}
(i), (ii), (iii)より
\begin{align*}
1+(2^{n-1}-1)+\dfrac{3^{n-1}-2^n+1}{2}=\dfrac{3^{n-1}+1}{2}~通り
\end{align*}

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