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n個のボールを3つの箱に入れる問題【1996年 東京大】

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n個のボールを3つの箱に入れる問題数学IAIIB

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(4)の別解

(2) 互いに区別のつかない $6m$ 個のボールを,A, B, Cと区別された3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。
(4) 互いに区別のつかない $6m$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

(3)の別解のように,(2)の入れ方と(4)の入れ方がどのように対応するかを考えて解く方法も説明しておく。最初の解答でも考えたように(i)~(iii)の3つに分けて考えるのは同じ。

(i) 3つの箱に入っているボールの個数が等しい。
(ii) 1つの箱に入っているボールの個数が他の2つの箱と異なる。
(iii) 3つの箱に入っているボールの個数がすべて異なる。

下の表で①~⑧の順に埋めていく。
 (i)(ii)(iii)全体
(2)
(4)
ヒロ
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まず①のときは $2m$ 個ずつに分ける方法しかないから1通り。箱に区別があってもボールを区別しないから,②のときも1通り。

 (i)(ii)(iii)全体
(2)1
(4)1
ヒロ
ヒロ

次に③と④を考える。

③のとき,$(x,~y,~z)$ の組は
\begin{align*}
&(x,~y,~z)=(0,0,6m),~(1,1,6m-2),~(2,2,6m-4),~\cdots,~\\[4pt]
&(2m-1,2m-1,2m+2),~(2m+1,2m+1,2m-2),\cdots,~(3m,3m,0)
\end{align*}
の $3m$ 通り。箱を区別する場合は,この $3m$ 通りそれぞれに3通りの入れ方があるから,④のときは $9m$ 通り。
 (i)(ii)(iii)全体
(2)1$9m$
(4)1$3m$
ヒロ
ヒロ

次に⑤と⑥のときを考える。

(2)の解説で書いたように考えて,⑤は
\begin{align*}
\nCk{6m+2}{2}&=\dfrac{(6m+2)(6m+1)}{2} \\[4pt]
&=(3m+1)(6m+1)~通り
\end{align*}
となるから,⑥は全体から(i), (ii)のときを除いて
\begin{align*}
(3m+1)(6m+1)-(1+9m)=18m^2~通り
\end{align*}
 (i)(ii)(iii)全体
(2)1$9m$$18m^2$$(3m+1)(6m+1)$
(4)1$3m$
ヒロ
ヒロ

最後に⑦と⑧を考える。

箱の区別がある(2)の入れ方では $18m^2$ 通りあるが,(4)の入れ方だと箱の区別がないから,⑦は
\begin{align*}
\dfrac{18m^2}{3!}=3m^2~通り
\end{align*}
⑧は(i)~(iii)を加えて
\begin{align*}
3m^2+3m+1~通り
\end{align*}
 (i)(ii)(iii)全体
(2)1$9m$$18m^2$$(3m+1)(6m+1)$
(4)1$3m$$3m^2$$3m^2+3m+1$
ヒロ
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このように適切な場合分けをして,箱の区別の有無で場合の数を求めていくことで,計算がかなり少なくなり楽になることもある。

まとめ

ヒロ
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ボールも箱も区別をしない場合は,数え上げる方法しかないため,面倒だけど,工夫次第で楽になることもある。

ヒロ
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様々な考え方を知ることで,今まで解けなかった問題を解けるようになるので,どんどん知識を吸収しよう。

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