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【数学Ⅰ】定期テストに出題される根号と絶対値に関する問題

【数学Ⅰ】定期テストに出題される根号と絶対値に関する問題数学IAIIB
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「絶対値」という言葉を聞いたり「絶対値記号」を見た瞬間に「解けない問題だ」と思う人がいますが,かなり損をしています。

しっかり理解する気持ちがあれば,それほど難しいものではありません。

初めから理解する気もない状態で説明を聞いても,当然理解できるはずがありません。

したがって,真剣に理解しようという気持ちをもって説明を聞く姿勢が重要です。

ここでは定期テストに実際に出題された問題を扱って根号と絶対値に関する問題を説明します。

頑張って理解して解ける問題を増やしましょう。

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定期テストに出題された式の値を求める問題1

問題1$-2<x<3$ のとき
\begin{align*} \abs{2x+4}+\abs{x-3} \end{align*}
を簡単にせよ。
ヒロ
ヒロ

まずは絶対値記号についてしっかりと理解しよう。

【絶対値記号を理解しよう】
絶対値の意味は「正の数ならそのまま答えて,負の数なら大きさを変えずに正の数にして答えて下さい。」ということ。
例えば「$1+\sqrt{2}$ の絶対値は?」と聞かれたら,正の数なのでそのまま $1+\sqrt{2}$ と答える。また「$1-\sqrt{2}$ の絶対値は?」と聞かれたら,負の数なので,引く順番を変えて正の数にして $\sqrt{2}-1$ と答えれば良いだけ。
ただ,毎回「正の数ならそのまま答えて,負の数なら大きさを変えずに正の数にして答えて下さい。」って言うのは面倒だよね?ということで,そういう意味の記号を作っただけ。

なるほど。絶対値の中身の符号に着目して考えるだけなんですね。

ヒロ
ヒロ

それでは問題1を解こう。

【問題1の考え方と解答】
$-2<x<3$ のとき
\begin{align*} 2x+4>0,~x-3<0 \end{align*}
であるから
\begin{align*} \abs{2x+4}=2x+4,~\abs{x-3}=3-x \end{align*}
よって
\begin{align*} &\abs{2x+4}+\abs{x-3} \\[4pt] &=(2x+4)+(3-x) \\[4pt] &=x+7 \end{align*}

定期テストに出題された式の値を求める問題2

問題2$-1\leqq x\leqq2$ のとき
\begin{align*}
\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}
\end{align*}
を簡単にせよ。
ヒロ
ヒロ

次は根号を外すときに注意が必要な問題。

【根号の中身が平方数のときの注意】
$\sqrt{a^2}=a$ ではないことに注意しよう。
例えば $\sqrt{(-3)^2}$ を考えると
\begin{align*}
\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\sqrt{(-3)^2}=-3
\end{align*}
とはならないね。$\sqrt{a^2}$ は正の数を表すから,$a$ が正の数なら,そのまま $a$ になるけど,$a$ が負の数なら $-a$ になる。これは絶対値の性質そのものだから
\begin{align*}
\sqrt{a^2}=\abs{a}
\end{align*}
となることに注意しよう。
ヒロ
ヒロ

それでは問題2を解こう。

【問題2の考え方と解答】
\begin{align*}
&\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4} \\[4pt]
&=\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x-2)^2} \\[4pt]
&=\abs{x+1}+\abs{x-2}
\end{align*}
$-1\leqq x\leqq2$ のとき
\begin{align*}
x+1\geqq0,~x-2\leqq0
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\abs{x+1}=x+1,~\abs{x-2}=2-x
\end{align*}
よって
\begin{align*}
(与式)&=(x+1)+(2-x) \\[4pt]
&=3
\end{align*}

定期テストに出題された式の値を求める問題3

問題3$0<a<2$ のとき
\begin{align*} \sqrt{a^2+2a+1}-\sqrt{a^2-6a+9} \end{align*}
を簡単にせよ。
ヒロ
ヒロ

問題2と同じようにして解こう。

【問題3の解答】
\begin{align*} &\sqrt{a^2+2a+1}-\sqrt{a^2-6a+9} \\[4pt] &=\sqrt{(a+1)^2}-\sqrt{(a-3)^2} \\[4pt] &=\abs{a+1}-\abs{a-3} \end{align*}
$0<a<2$ のとき
\begin{align*} \abs{a+1}=a+1,~\abs{a-3}=3-a \end{align*}
であるから
\begin{align*} (与式)&=(a+1)-(3-a) \\[4pt] &=2a-2 \end{align*}

定期テストに出題された式の値を求める問題4

問題4次の式の根号をはずし,簡単にせよ。
\begin{align*}
\sqrt{a^2+4a+4}-\sqrt{a^2-6a+9}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$a$ の範囲が与えられていないときは,場合分けをして答えよう。

【問題4の考え方と解答】
\begin{align*}
&\sqrt{a^2+4a+4}-\sqrt{a^2-6a+9} \\[4pt]
&=\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-3)^2} \\[4pt]
&=\abs{a+2}-\abs{a-3}
\end{align*}
ここからは $a$ の値によって符号が変わるから場合分けを考える。
\begin{align*}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
a & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\[4pt]\hline
a+2 & – & 0 & + & + & + \\[4pt]\hline
a-3 & – & – & – & 0 & +
\end{array}
\end{align*}
この表から3つの場合に分ければ良いことが分かる。
(i) $a<-2$ のとき
\begin{align*} (与式)&=-(a+2)-(3-a) \\[4pt] &=-5 \end{align*}
(ii) $-2\leqq a<3$ のとき
\begin{align*} (与式)&=(a+2)-(3-a) \\[4pt] &=2a-1 \end{align*}
(iii) $3\leqq a$ のとき
\begin{align*} (与式)&=(a+2)-(a-3) \\[4pt] &=5 \end{align*}

定期テストに出題された式の値を求める問題5

問題5次の式を $x$ の整式で表せ。
\begin{align*}
\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4}
\end{align*}
ヒロ
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問題4と同じように解こう。

【問題5の解答】
\begin{align*}
&\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4} \\[4pt]
&=\sqrt{(x-5)^2}+\sqrt{(x+2)^2} \\[4pt]
&=\abs{x-5}+\abs{x+2}
\end{align*}
(i) $x<-2$ のとき
\begin{align*} (与式)&=(5-x)-(x+2) \\[4pt] &=-2x+3 \end{align*}
(ii) $-2\leqq x<5$ のとき
\begin{align*} (与式)&=(5-x)+(x+2) \\[4pt] &=7 \end{align*}
(iii) $5\leqq x$ のとき
\begin{align*} (与式)&=(x-5)+(x+2) \\[4pt] &=2x-3 \end{align*}

場合分けの等号の有無について

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場合分けをするときに「○○以上○○未満」という書き方をされることが多い。

ヒロ
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等号を1つも使わないと,考えていない値が存在してしまうので良くないが,すべての場合分けで等号を付けても構わない。

ヒロ
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細かいことは気にせずに,しっかりと解けるようにしていこう。

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