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n個のボールを3つの箱に入れる問題【1996年 東京大】

n個のボールを3つの箱に入れる問題数学IAIIB
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(3)の別解Ⅰ

1から $n$ まで異なる番号のついた $n$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

ボールが箱に入っている箱の個数で場合分けするという基本的な考え方は同じ。

(i) 1つの箱に入れるとき
箱を区別しないから,$n$ 個のボールを1つの箱に入れる方法は1通り。

ヒロ
ヒロ

2つ以上箱を使うときは,箱を区別する(1)と箱を区別しない(3)で,ボールの入れ方がどのように対応するかを考えてみよう。

ヒロ
ヒロ

まず,2つの箱に入っているボールの個数が異なる場合を具体的に考えよう。

例えば,$n-2$ 個と2個に分けて入れる場合を考える。
箱を区別する(1)の入れ方では
\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=&(n-2,2,0),~(n-2,0,2) \\[4pt]
&(2,n-2,0),~(2,0,n-2) \\[4pt]
&(0,n-2,2),~(0,2,n-2)
\end{align*}
の6通りあるが,箱を区別しない(3)の入れ方では,この6通りをすべて同じ入れ方とみなすため,1通りになる。
ヒロ
ヒロ

次に,2つの箱に入っているボールの個数が等しい場合はどうなるかを考えよう。この場合,$n$ が偶数でなければ,そのような入れ方自体が存在しないため,$n=2m$ とおいて考える。

$n$ が偶数 $2m$ で $m$ 個ずつに分けて入れる場合を考える。
同じ $m$ 個でもボールを区別するため,異なる番号のボールが入っていることを分かりやすくするため,一方を $m_1$,もう一方を $m_2$ と表すことにする。
箱を区別する(1)の入れ方では
\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=&(m_1,m_2,0),~(m_1,0,m_2) \\[4pt]
&(m_2,m_1,0),~(m_2,0,m_1) \\[4pt]
&(0,m_1,m_2),~(0,m_2,m_1)
\end{align*}
の6通りあるが,箱を区別しない(3)の入れ方では,すべて同じ入れ方となるため,1通りになる。
ヒロ
ヒロ

この結果,2つの箱にボールを入れるときは,箱に入れるボールの個数がどのような状態であっても,(1)の入れ方6通りに対して,(3)では1通りの入れ方になることが分かる。

ヒロ
ヒロ

また,3つの箱にボールを入れるときも,全く同じことが言えるのは良いだろう。

(ii) 2つ以上の箱に入れるとき
箱を区別する(1)の入れ方では,$3^n-3$ 通りあるが,(1)の入れ方6通りに対して,箱を区別しない(3)の入れ方では1通りになるから
\begin{align*}
\dfrac{3^n-3}{6}=\dfrac{3^{n-1}-1}{2}~通り
\end{align*}
(i), (ii)より
\begin{align*}
1+\dfrac{3^{n-1}-1}{2}=\dfrac{3^{n-1}+1}{2}~通り
\end{align*}

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