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【数学ⅡB】領域を利用した命題の証明【学習院大・立教大】

領域と命題の証明数学IAIIB
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ここでは,領域を利用した命題の証明方法について説明します。

不等式で表された命題の証明をする際に,領域の包含関係を利用することで,比較的簡単に命題を証明することができる場合があります。

「不等式」という式と「領域」という図形をいつでも相互変換できるようにしておくことが大切です。

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命題の証明に領域を利用できるようにしよう

ヒロ
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次のことを知っておこう。

命題と領域 2つの領域 $A,~B$ を表す不等式をそれぞれ $f(x,~y)>0,~g(x,~y)>0$ とする。一般に,2つの領域 $A,~B$ に対して,領域 $A$ が領域 $B$ に含まれるとき,命題「$f(x,~y)>0$ ならば $g(x,~y)>0$」が成り立つ。したがって,「$f(x,~y)>0$ ならば $g(x,~y)>0$」を証明したい場合は,それぞれの不等式が表す領域を図示して,領域 $A$ が領域 $B$ に含まれていることを示せば良い。
ヒロ
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今あなたは,領域を利用して証明することが分かっている状態で,この記事で扱っている問題を見ることになるが,初見であっても「領域で考えれば簡単に解けそうだ」と思えるようになると良いだろう。

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