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【数学ⅡB】3次方程式の解と係数の関係の応用【昭和大・東京電機大・青山学院大・星薬科大】

3次方程式の解と係数の関係と対称式数学IAIIB

ここでは3次方程式の解と係数の関係の応用問題について説明します。

3文字の基本対称式から丁寧に解説していきます。

最後の問題まで,解説通りに解けるようになれば,3次方程式の解と係数の関係を利用する問題に対しては,かなり強くなるでしょう。

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3文字の基本対称式

ヒロ
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具体的な問題を解く前に,3文字の対称式について知っておこう。

ヒロ
ヒロ

そもそも「対称式って何?」ってなる人は,2文字の対称式について説明している次の記事を読んで欲しい。

ヒロ
ヒロ

すべての対称式は基本対称式で表すことができるが,3文字の基本対称式を知っておこう。

3文字の基本対称式
  1. $x+y+z$
  2. $xy+yz+zx$
  3. $xyz$

様々な3文字の対称式

ヒロ
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2文字の対称式のときのように,3文字の対称式についても,有名な変形を知っておくことで,試験中に使う時間を短縮しよう。

3文字の対称式の変形
  1. $\displaystyle
    x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
    $
  2. $\displaystyle
    x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
    $
  3. $\displaystyle
    x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)
    $
  4. $\displaystyle
    x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
    $
ヒロ
ヒロ

右辺を書くときにリアルタイムで展開を考えて左辺と等しくなるにはどうすればよいかを考えて書くようにすると,単なる丸暗記から解放されるかもしれない。

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