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3次方程式の重解に関する問題【学習院大】
2019年 学習院大実数 $a,~b$ に対して，$f(x)=2x^3+ax^2+bx+3$ とおく。
(1) $x=-1$ が方程式 $f(x)=0$ の重解になるような $a,~b$ を求めよ。
(2) $a,~b$ が(1)で求めた値のとき，方程式 $f(x)=0$ の $x=-1$ 以外の解を求めよ。
(1) $x=-1$ が方程式 $f(x)=0$ の重解になるような $a,~b$ を求めよ。
(2) $a,~b$ が(1)で求めた値のとき，方程式 $f(x)=0$ の $x=-1$ 以外の解を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
$x=-1$ が方程式 $f(x)=0$ の重解になっていることから，$f(x)=0$ の解が $-1,~-1,~c$ となっていることが分かる。$c$ が $-1$ なら，$-1$ が3重解ということになるし，$c$ が $-1$ 以外なら $-1$ が2重解ということになる。どちらにせよ $x^3$ の係数が2であることに注意すると $f(x)$ は
$x=-1$ が方程式 $f(x)=0$ の重解になっていることから，$f(x)=0$ の解が $-1,~-1,~c$ となっていることが分かる。$c$ が $-1$ なら，$-1$ が3重解ということになるし，$c$ が $-1$ 以外なら $-1$ が2重解ということになる。どちらにせよ $x^3$ の係数が2であることに注意すると $f(x)$ は
\begin{align*}
f(x)=2(x+1)^2(x-c)
\end{align*}
と因数分解できる。右辺を展開すると $2x^3+(-2c+4)x^2+(-4c+2)x-2c$ となり，両辺の各項の係数が一致するからf(x)=2(x+1)^2(x-c)
\end{align*}
\begin{align*}
&a=-2c+4 \\[4pt]
&b=-4c+2 \\[4pt]
&3=-2c
\end{align*}
よって，$a=7,~b=8,~c=-\dfrac{3}{2}$&a=-2c+4 \\[4pt]
&b=-4c+2 \\[4pt]
&3=-2c
\end{align*}
ヒロ
展開するのが面倒であれば，解と係数の関係を利用すれば良い。
(2) $a,~b$ が(1)で求めた値のとき，方程式 $f(x)=0$ の $x=-1$ 以外の解を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
(1)の結果より，求める解は $x=-\dfrac{3}{2}$
(1)の結果より，求める解は $x=-\dfrac{3}{2}$
ヒロ
(2)の答えが(1)で求めてしまっていることが微妙な感じだなぁと思う人もいるだろう。
ヒロ
ということで，(1)を別の方法で解いておこう。
(1) $x=-1$ が方程式 $f(x)=0$ の重解になるような $a,~b$ を求めよ。
【(1)の別の考え方と解答】
$x=-1$ が $f(x)=0$ の重解であるから，$f(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる。$f(x)\div(x+1)^2$ を計算する。
余りは0であるから
$x=-1$ が $f(x)=0$ の重解であるから，$f(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる。$f(x)\div(x+1)^2$ を計算する。
余りは0であるから
\begin{align*}
b+6-2a=0~かつ~7-a=0
\end{align*}
よって，$a=7,~b=8$b+6-2a=0~かつ~7-a=0
\end{align*}
ヒロ
この方法なら，一応 $x=-1$ 以外の解を求めずに $a,~b$ の値を求めることができる。
(2) $a,~b$ が(1)で求めた値のとき，方程式 $f(x)=0$ の $x=-1$ 以外の解を求めよ。
【(2)の別の考え方と解答】
$a=7,~b=8$ のとき，$f(x)=0$ より
$a=7,~b=8$ のとき，$f(x)=0$ より
\begin{align*}
&2x^3+7x^2+8x+3=0 \\[4pt]
&(x+1)^2(2x+3)=0 \\[4pt]
&x=-1,~-\dfrac{3}{2}
\end{align*}
&2x^3+7x^2+8x+3=0 \\[4pt]
&(x+1)^2(2x+3)=0 \\[4pt]
&x=-1,~-\dfrac{3}{2}
\end{align*}