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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式

2016年 センター数学ⅠA 数と式数学IAIIB
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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年 センターⅠA 第1問 数と式 $a$ を実数とする。$x$ の関数
\begin{align*}
f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x
\end{align*}
を考える。
\begin{align*}
f(x)=\left(-\myBox{ア}\,a+\myBox{イ}\right)x+2a+1
\end{align*}
である。
(1) $0\leqq x\leq1$ における $f(x)$ の最小値は,
$a\leqq\dfrac{\mybox{イ}}{\mybox{ア}}$ のとき,$\myBox{ウ}\,a+\myBox{エ}$ であり,
$a>\dfrac{\mybox{イ}}{\mybox{ア}}$ のとき,$\myBox{オ}\,a+\myBox{カ}$ である。
(2) $0\leqq x\leq1$ において,常に $f(x)\geqq\dfrac{2(a+2)}{3}$ となる $a$ の値の範囲は,
\begin{align*}
\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\leqq a\leqq\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}
\end{align*}
である。
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ウォーミングアップ問題の解答

ヒロ
ヒロ

$f(x)$ を $x$ について整理する問題。

【アイの解答】
\begin{align*}
f(x)&=(1+2a)(1-x)+(2-a)x \\[4pt]
&=\{-(1+2a)+(2-a)\}x+1+2a \\[4pt]
&=(-3a+1)x+2a+1
\end{align*}

(1)の解答

ヒロ
ヒロ

$x$ の定義域が定められたときの $f(x)$ の最小値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

$x$ の係数 $-3a+1$ の符号によって,増加関数か減少関数かが変わるため,最小値をとる $x$ の値も変わる。

ヒロ
ヒロ

しっかり考えて解くようにしよう。

【ウ~カの解答】
$x$ の係数が0以上,すなわち $-3a+1\geq0$ のとき,$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。したがって
$a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき,最小値は $f(0)=2a+1$ である。
また,$x$ の係数が負,すなわち $-3a+1<0$ のとき,$f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる。したがって
$a>\dfrac{1}{3}$ のとき,最小値は $f(1)=-a+2$ である。
$f(1)$ を求めるときは,最初に与えられている $f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$ に $x=1$ を代入するのが良い。

(2)の解答

(2) $0\leqq x\leq1$ において,常に $f(x)\geqq\dfrac{2(a+2)}{3}$ となる $a$ の値の範囲は,

\begin{align*} \dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\leqq a\leqq\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}} \end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

常に与えられた不等式が成り立つような $a$ の最小値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

次のポイントを理解しよう。

常に $f(x)\geqq a$ が成り立つとは関数 $f(x)$ が $p\leqq x\leqq q$ において,常に $f(x)\geqq a$ が成り立つとき,
\begin{align*}
(p\leqq x\leqq q における f(x) の最小値)\geqq a
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

与えられた定義域における最小値が $a$ 以上であれば,与えられた定義域で $f(x)$ の値は必ず $a$ 以上であると言えるね。

【キ~コの解答】
$a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき,
\begin{align*}
&2a+1\geqq\dfrac{2(a+2)}{3} \\[4pt]
&6a+3\geqq2a+4 \\[4pt]
&a\geqq\dfrac{1}{4}
\end{align*}
よって,$\dfrac{1}{4}\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$
$a>\dfrac{1}{3}$ のとき,
\begin{align*}
&-a+2\geqq\dfrac{2(a+2)}{3} \\[4pt]
&-3a+6\geqq2a+4 \\[4pt]
&a\leqq\dfrac{2}{5}
\end{align*}
よって,$\dfrac{1}{3}<a\leqq\dfrac{2}{5}$
以上より,求める $a$ の値の範囲は
\begin{align*}
    \dfrac{1}{4}\leqq a\leqq\dfrac{2}{5}
\end{align*}

2016年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想

ヒロ
ヒロ

最初の展開は,$x$ に着目してうまく展開できるようにしよう。

ヒロ
ヒロ

定義域が定められた関数の最小値を求める問題では,しっかり場合分けできるようにしておこう。

ヒロ
ヒロ

常に成り立つ不等式については,その意味を考えるようにしよう。

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