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3次方程式の重解に関する問題2【聖マリアンナ医科大】
2019年 聖マリアンナ医科大3次方程式 $x^3+ax^2+bx-b=0$（ただし $b>0$）が異なる2つの整数解 $p,~q$（ただし，$p$ は2重解）をもつとき，$p=\myhako$, $q=\myhako$ である。
【考え方と解答】
今回は解と係数の関係を利用して解こう。
ということで，$p\neq0$ であるから，結局 $pq-p-2q=0$ となる。この1本だけでは $p,~q$ の値を求めることなんてできないと思ってしまうが，$p,~q$ は整数であることに注意しよう。「整数」という条件は思っているより強い条件であるから，見逃さないようにしよう。
1本の等式から，それをみたす整数を求める場合は，方程式の整数解で書いたように「$積=一定$」の形にすることを考えよう。$pq-p-2q=0$ より
今回は解と係数の関係を利用して解こう。
\begin{align*}
&2p+q=-a~\cdots\cdots① \\[4pt]
&p^2+2pq=b~\cdots\cdots② \\[4pt]
&p^2q=b~\cdots\cdots③
\end{align*}
②，③より $b$ を消去すると&2p+q=-a~\cdots\cdots① \\[4pt]
&p^2+2pq=b~\cdots\cdots② \\[4pt]
&p^2q=b~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
&p^2+2pq=p^2q
\end{align*}
ここで両辺を $p$ で割りたいが，$p=0$ になることがあると気軽に $p$ で割ることはできない。こういったことを考えずに文字で割ってしまう癖がある人は，常に因数分解した方が良いだろう。つまり&p^2+2pq=p^2q
\end{align*}
\begin{align*}
p(p+2q-pq)=0
\end{align*}
と変形すれば，自然と $p=0$ または $p+2q-pq=0$ の2つの場合を考えることになる。$p=0$ のときは③より $b=0$ となるが，これは $b>0$ に反するから，$p\neq0$ であることが分かる。因数分解しない場合は，「$b>0$ であるから③より $p\neq0$ である。」と書けば良い。p(p+2q-pq)=0
\end{align*}
ということで，$p\neq0$ であるから，結局 $pq-p-2q=0$ となる。この1本だけでは $p,~q$ の値を求めることなんてできないと思ってしまうが，$p,~q$ は整数であることに注意しよう。「整数」という条件は思っているより強い条件であるから，見逃さないようにしよう。
1本の等式から，それをみたす整数を求める場合は，方程式の整数解で書いたように「$積=一定$」の形にすることを考えよう。$pq-p-2q=0$ より
\begin{align*}
(p-2)(q-1)=2
\end{align*}
$b>0$ であるから，③より $q>0$ となる。よって，$q-1>-1$ である。また，$p,~q$ は整数であるから(p-2)(q-1)=2
\end{align*}
\begin{align*}
&(p-2,~q-1)=(2,~1),~(1,~2) \\[4pt]
&(p,~q)=(4,~2),~(3,~3)
\end{align*}
$p\neq q$ より，$p=4,~q=2$ である。&(p-2,~q-1)=(2,~1),~(1,~2) \\[4pt]
&(p,~q)=(4,~2),~(3,~3)
\end{align*}
3次方程式の重解に関する問題3【自治医科大】
2020年 自治医科大3次方程式 $x^3+(2a^2-1)x^2-(5a^2-4a)x+3a^2-4a=0$（$a$ は実数）が実数の2重解をもつとき，$a$ のとりうる値の和を求めよ。
【考え方と解答】
この問題が先に扱った2問と違う点は，重解が与えられていない点である。だからといって，3つの解を $p,~p,~q~(p\neq q)$ とおくのもしんどそう。与えられている3次方程式の係数に文字が含まれていても，1文字のときは3つの解のうち1つの解が簡単に分かる場合が多い。つまり，$（1次式）\times（2次式）=0$ の形にすることを考えよう。その際には，因数定理を利用するか，係数に含まれている文字について整理すると良い。大抵の場合，係数に含まれている文字に着目すると1次式か2次式になるから因数分解しやすいはずである。
今回の場合，因数定理を利用するなら定数項の $3a^2-4a$ に着目すると，$\pm1$, $\pm a$, $\pm(3a-4)$ を代入して方程式をみたすものを探すことになる。ここで $a$ について着目した場合，$a$ の2次方程式とみることができる。$a^2$ の係数は $2x^2-5x+3$ であるから，さっき挙げた値のどれかを代入して0になる可能性があるのは $\pm1$ のみであり，実際に $x=1$ を代入すると，$a^2$ の係数は0になる。方程式全体で見ても，
(i) $x=1$ が①の2重解のとき
$x^2+2a^2x-3a^2+4a=0~\cdots\cdots②$ が1と1以外の解をもつ。$x=1$ が解であるから
(ii) $x^2+2a^2x-3a^2+4a=0$ が1以外の重解をもつとき
判別式が0になるから
$a=0$ のとき，②は $x^2=0$ となり，重解 $x=0$ をもつから条件をみたす。
$a=1$ のとき，②は $x^2+2x+1=0$ となり，重解 $x=-1$ をもつから条件をみたす。
以上より，条件をみたす $a$ の値は $a=2\pm\sqrt{5},~0,~1$ であるから，求める $a$ のとりうる値の和は
この問題が先に扱った2問と違う点は，重解が与えられていない点である。だからといって，3つの解を $p,~p,~q~(p\neq q)$ とおくのもしんどそう。与えられている3次方程式の係数に文字が含まれていても，1文字のときは3つの解のうち1つの解が簡単に分かる場合が多い。つまり，$（1次式）\times（2次式）=0$ の形にすることを考えよう。その際には，因数定理を利用するか，係数に含まれている文字について整理すると良い。大抵の場合，係数に含まれている文字に着目すると1次式か2次式になるから因数分解しやすいはずである。
今回の場合，因数定理を利用するなら定数項の $3a^2-4a$ に着目すると，$\pm1$, $\pm a$, $\pm(3a-4)$ を代入して方程式をみたすものを探すことになる。ここで $a$ について着目した場合，$a$ の2次方程式とみることができる。$a^2$ の係数は $2x^2-5x+3$ であるから，さっき挙げた値のどれかを代入して0になる可能性があるのは $\pm1$ のみであり，実際に $x=1$ を代入すると，$a^2$ の係数は0になる。方程式全体で見ても，
\begin{align*}
（方程式の左辺）=1+(2a^2-1)-(5a^2-4a)+3a^2-4a=0
\end{align*}
となるから，方程式の左辺は $x-1$ を因数にもつことがわかる。あとは好きな方法で割り算を行えばよい。（方程式の左辺）=1+(2a^2-1)-(5a^2-4a)+3a^2-4a=0
\end{align*}
\begin{align*}
&(x-1)(x^2+2a^2x-3a^2+4a)=0~\cdots①
\end{align*}
ここまできて安心してはいけない。「2重解をもつ」ことをしっかり考えよう。いま，$x=1$ が1つの解であることが分かっているが，$x=1$ が2重解になる場合と，$x=1$ が2重解にならない場合があることに注意しよう。&(x-1)(x^2+2a^2x-3a^2+4a)=0~\cdots①
\end{align*}
(i) $x=1$ が①の2重解のとき
$x^2+2a^2x-3a^2+4a=0~\cdots\cdots②$ が1と1以外の解をもつ。$x=1$ が解であるから
\begin{align*}
&1+2a^2-3a^2+4a=0 \\[4pt]
&a^2-4a-1=0 \\[4pt]
&a=2\pm\sqrt{5}
\end{align*}
定数項に着目すると&1+2a^2-3a^2+4a=0 \\[4pt]
&a^2-4a-1=0 \\[4pt]
&a=2\pm\sqrt{5}
\end{align*}
\begin{align*}
(x-1)(x+3a^2-4a)=0
\end{align*}
となるから，②の解は $x=1,~-3a^2+4a$ となる。ここで $a=2\pm\sqrt{5}$ のとき(x-1)(x+3a^2-4a)=0
\end{align*}
\begin{align*}
-3a^2+4a=-2a^2-1\neq1
\end{align*}
となるから，条件を満たす。-3a^2+4a=-2a^2-1\neq1
\end{align*}
(ii) $x^2+2a^2x-3a^2+4a=0$ が1以外の重解をもつとき
判別式が0になるから
\begin{align*}
&a^4-(-3a^2+4a)=0 \\[4pt]
&a(a^3+3a-4)=0 \\[4pt]
&a(a-1)(a^2+a+4)=0
\end{align*}
$a$ は実数であるから，$a=0,~1$&a^4-(-3a^2+4a)=0 \\[4pt]
&a(a^3+3a-4)=0 \\[4pt]
&a(a-1)(a^2+a+4)=0
\end{align*}
$a=0$ のとき，②は $x^2=0$ となり，重解 $x=0$ をもつから条件をみたす。
$a=1$ のとき，②は $x^2+2x+1=0$ となり，重解 $x=-1$ をもつから条件をみたす。
以上より，条件をみたす $a$ の値は $a=2\pm\sqrt{5},~0,~1$ であるから，求める $a$ のとりうる値の和は
\begin{align*}
(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})+0+1=5
\end{align*}
(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})+0+1=5
\end{align*}