2016年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数

ここでは2016年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅡB 指数・対数関数(1)

$\displaystyle
8^{\frac{5}{6}}=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}},~\log_{27}\dfrac{1}{9}=\dfrac{\myBox{ウエ}}{\myBox{オ}}
$

(2) $y=2^x$ のグラフと $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ のグラフは $\myBox{カ}$ である。
　$y=2^x$ のグラフと $y=\log_2x$ のグラフは $\myBox{キ}$ である。
　$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ のグラフは $\myBox{ク}$ である。
　$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_2\dfrac{1}{x}$ のグラフは $\myBox{ケ}$ である。
　$\myBox{カ}$ ～ $\myBox{ケ}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪ 同一のもの　① $x$ 軸に関して対称
② $y$ 軸に関して対称　③ 直線 $y=x$ に関して対称
(3) $x>0$ の範囲における関数 $y=\left(\log_2\dfrac{x}{4}\right)^2-4\log_4x+3$ の最小値を求めよう。
　$t=\log_2x$ とおく。このとき，$y=t^2-\myBox{コ}~t+\myBox{サ}$ である。また，$x$ が $x>0$ の範囲を動くとき，$t$ のとり得る値の範囲は $\myBox{シ}$ である。$\myBox{シ}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪ $t>0$　① $t>1$
② $t>0$ かつ $t\neq1$　③ 実数全体
　したがって，$y$ は $t=\myBox{ス}$ のとき，すなわち $x=\myBox{セ}$ のとき，最小値 $\myBox{ソタ}$ をとる。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 2016年センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

指数法則と対数法則を利用して計算しよう。

【ア～オの解答】

\begin{align*}
8^{\frac{5}{6}}&=(2^3)^{\frac{5}{6}} \\[4pt]
&=2^{\frac{5}{2}} \\[4pt]
&=4\sqrt{2}
\end{align*}

底の変換公式を用いると

\begin{align*}
\log_{27}\dfrac{1}{9}&=\dfrac{\log_3\dfrac{1}{9}}{\log_327} \\[4pt]
&=\dfrac{-2}{3}
\end{align*}

ヒロ

対数とは何かを理解することもなく，対数法則を丸暗記して解く人がいるが，それを辞めると成績が上がること間違いなし！

【対数法則丸暗記を辞めよう】
次のような対数法則ガチガチの計算をしないようにしよう。

\begin{align*}
\log_{27}\dfrac{1}{9}&=\dfrac{\log_3\dfrac{1}{9}}{\log_327} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_33^{-2}}{\log_33^3} \\[4pt]
&=\dfrac{-2\log_33}{3\log_33} \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}

ヒロ

例えば，$\log_3\dfrac{1}{9}$ は $3^x=\dfrac{1}{9}$ となる $x$ のことだと考えよう。すぐに $x=-2$ と分かるはずなので，$\log_3\dfrac{1}{9}=-2$ と書けるようにしよう。

ヒロ

$\log_{3}27$ も同様に考えて，27は3の何乗かを考えると，3の3乗だと分かるから，$\log_{3}27=3$ とすぐに書けるようにしよう。

(2)の解答

(2) $y=2^x$ のグラフと $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ のグラフは $\myBox{カ}$ である。　$y=2^x$ のグラフと $y=\log_2x$ のグラフは $\myBox{キ}$ である。　$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ のグラフは $\myBox{ク}$ である。　$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_2\dfrac{1}{x}$ のグラフは $\myBox{ケ}$ である。　$\myBox{カ}$ ～ $\myBox{ケ}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ⓪ 同一のもの　① $x$ 軸に関して対称 ② $y$ 軸に関して対称　③ 直線 $y=x$ に関して対称

ヒロ

次はグラフの対称性に関する問題。

【カ～ケの解答】
$f(x)=2^x$ とおくと

\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2^{-x}=f(-x)
\end{align*}

となるから，$\myBox{カ}=②$
$y=a^x$ のグラフと $y=\log_ax$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称であるから，$\myBox{キ}=③$
$g(x)=\log_2x$ とおくと

\begin{align*}
\log_{\frac{1}{2}}x&=\log_2\dfrac{1}{x} \\[4pt]
&=-\log_2x \\[4pt]
&=-g(x)
\end{align*}

となるから，$\myBox{ク}=①$
同様にして

\begin{align*}
\log_2\dfrac{1}{x}&=-\log_2x \\[4pt]
&=-g(x)
\end{align*}

となるから，$\myBox{ケ}=①$

ヒロ

対数の底と真数をそれぞれ累乗しても値が変わらない，すなわち次の等式を公式として知っておくと良い。

$\log_ab=\log_{a^n}b^n$

ヒロ

$n=-1$ のときは底と真数の両方の逆数をとることになり，$\log_ab=\log_{\frac{1}{a}}\dfrac{1}{b}$ が成り立つことは簡単に理解できる。

(3)の解答

(3) $x>0$ の範囲における関数 $y=\left(\log_2\dfrac{x}{4}\right)^2-4\log_4x+3$ の最小値を求めよう。　$t=\log_2x$ とおく。このとき，$y=t^2-\myBox{コ}~t+\myBox{サ}$ である。また，$x$ が $x>0$ の範囲を動くとき，$t$ のとり得る値の範囲は $\myBox{シ}$ である。$\myBox{シ}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。 ⓪ $t>0$　① $t>1$ ② $t>0$ かつ $t\neq1$　③ 実数全体　したがって，$y$ は $t=\myBox{ス}$ のとき，すなわち $x=\myBox{セ}$ のとき，最小値 $\myBox{ソタ}$ をとる。

ヒロ

$y$ を $t$ で表す問題。

【コサの解答】
$t=\log_2x$ とおくとき

\begin{align*}
y&=\left(\log_2\dfrac{x}{4}\right)^2-4\log_4x+3 \\[4pt]
&=(\log_2x-2)^2-4\Cdota\dfrac{1}{2}\log_2x+3 \\[4pt]
&=(t-2)^2-2t+3 \\[4pt]
&=t^2-6t+7
\end{align*}