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対数の性質
ヒロ
$a,~b,~c$ は1でない正の数とし，$M,~N$ は正の数，$k$ を実数とするとき，対数には次の性質が成り立つ。
対数の性質
対数の性質を理解しよう
ヒロ
対数の性質を忘れないようにするためにも，理解しておいた方が良いだろう。
【対数の基本性質を理解しよう】
まずは，対数の基本性質
$\log_aa$ は「$a$ は $a$ を何乗したものか？」と聞かれていて明らかに「1乗」であることが分かるから，$\log_aa=1$ である。
$\log_a1$ は「1は $a$ を何乗したものか？」と聞かれていて「0乗」であるから，$\log_a1=0$ である。
まずは，対数の基本性質
\begin{align*}
\log_aa=1,~\log_a1=0,~\log_a\dfrac{1}{a}=-1
\end{align*}
を理解しよう。\log_aa=1,~\log_a1=0,~\log_a\dfrac{1}{a}=-1
\end{align*}
$\log_aa$ は「$a$ は $a$ を何乗したものか？」と聞かれていて明らかに「1乗」であることが分かるから，$\log_aa=1$ である。
$\log_a1$ は「1は $a$ を何乗したものか？」と聞かれていて「0乗」であるから，$\log_a1=0$ である。
ヒロ
3つの基本性質については，当たり前だと感じることができるようにしよう。
ヒロ
それでは残りの性質についても理解していこう。
【対数の性質を理解しよう】
まずは真数が積になっているものは和に分解できる性質
$M=a^x,~N=a^y$ とすると，対数の定義から
指数法則より
それでは最後の性質
指数法則より，
まずは真数が積になっているものは和に分解できる性質
\begin{align*}
\log_aMN=\log_aM+\log_aN
\end{align*}
を理解しよう。\log_aMN=\log_aM+\log_aN
\end{align*}
$M=a^x,~N=a^y$ とすると，対数の定義から
\begin{align*}
x=\log_aM,~y=\log_aN~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つ。また，指数法則から $MN=a^{x+y}$ が成り立つからx=\log_aM,~y=\log_aN~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
x+y=\log_aMN~\cdots\cdots②
\end{align*}
①，②よりx+y=\log_aMN~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
\log_aMN=\log_aM+\log_aN
\end{align*}
が成り立つ。次の性質\log_aMN=\log_aM+\log_aN
\end{align*}
\begin{align*}
\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN
\end{align*}
を理解しよう。\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN
\end{align*}
指数法則より
\begin{align*}
\dfrac{M}{N}=\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}
\end{align*}
が成り立つから\dfrac{M}{N}=\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}
\end{align*}
\begin{align*}
x-y=\log_a\dfrac{M}{N}~\cdots\cdots③
\end{align*}
①，③よりx-y=\log_a\dfrac{M}{N}~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN
\end{align*}
が成り立つ。\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN
\end{align*}
それでは最後の性質
\begin{align*}
\log_aM^k=k\log_aM
\end{align*}
を理解しよう。\log_aM^k=k\log_aM
\end{align*}
指数法則より，
\begin{align*}
M^k=(a^x)^k=a^{kx}
\end{align*}
が成り立つからM^k=(a^x)^k=a^{kx}
\end{align*}
\begin{align*}
kx=\log_aM^k~\cdots\cdots④
\end{align*}
①，④よりkx=\log_aM^k~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
\log_aM^k=k\log_aM
\end{align*}
が成り立つ。\log_aM^k=k\log_aM
\end{align*}