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2020年 東海大
2020年 東海大$\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\left(\myBox{ア}+\myBox{イ}\sqrt{\myBox{ウ}}\right)=-2$ ただし，$\myBox{ア}$，$\myBox{イ}$ は有理数，$\myBox{ウ}$ はできるだけ小さい自然数とする。
【考え方と解答】
対数の定義を考えて空欄を埋めよう。真数を $M$ とおくと対数の定義より
対数の定義を考えて空欄を埋めよう。真数を $M$ とおくと対数の定義より
\begin{align*}
M&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2} \\[4pt]
&=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)^2 \\[4pt]
&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \\[4pt]
&=5+2\sqrt{6}
\end{align*}
M&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2} \\[4pt]
&=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)^2 \\[4pt]
&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \\[4pt]
&=5+2\sqrt{6}
\end{align*}
2020年 愛知医科大
2020年 愛知医科大$\log_2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\log_2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ を簡単にせよ。
【考え方と解答】
対数の性質を利用して変形しよう。
対数の性質を利用して変形しよう。
\begin{align*}
&\log_2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\log_2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\[4pt]
&=\log_2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\[4pt]
&=\log_2(6-2)=\log_24 \\[4pt]
&=2
\end{align*}
&\log_2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\log_2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\[4pt]
&=\log_2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\[4pt]
&=\log_2(6-2)=\log_24 \\[4pt]
&=2
\end{align*}
2019年 東京理科大
2019年 東京理科大関数 $g(x)$ を
$g(\log_35)=\dfrac{\sqrt{\myhako}}{\myhako}$ である。ここで，$\log_3$ は3を底とする対数関数を表す。
\begin{align*}
g(x)=3^{-\frac{7}{2}x}
\end{align*}
と定める。g(x)=3^{-\frac{7}{2}x}
\end{align*}
$g(\log_35)=\dfrac{\sqrt{\myhako}}{\myhako}$ である。ここで，$\log_3$ は3を底とする対数関数を表す。
ヒロ
指数に対数がある数を初めて見たときは戸惑うだろう。
ヒロ
意味を掴む考え方ができるようにしよう。
【考え方と解答】
求める値と異なるが，例えば $3^{\log_35}$ がどのような数であるかを考える。
$\log_35$ は「3を何乗かすると5になる数」である。つまり $3^{\log_35}$ は「3の『3を何乗かすると5になる数』乗」であるから，$3^{\log_35}=5$ となることが簡単に分かる。
これが理解できるかどうかは国語力の問題かもしれない。もう少し分かりやすく書くことにする。「3を何乗かすると5になる数」を $a$ とすると，$a=\log_35$ であり，$3^a=5$ である。したがって
求める値と異なるが，例えば $3^{\log_35}$ がどのような数であるかを考える。
$\log_35$ は「3を何乗かすると5になる数」である。つまり $3^{\log_35}$ は「3の『3を何乗かすると5になる数』乗」であるから，$3^{\log_35}=5$ となることが簡単に分かる。
これが理解できるかどうかは国語力の問題かもしれない。もう少し分かりやすく書くことにする。「3を何乗かすると5になる数」を $a$ とすると，$a=\log_35$ であり，$3^a=5$ である。したがって
\begin{align*}
3^{\log_35}=3^a=5
\end{align*}
となる。このように考えることで，今回の問題の答えは次のようになる。3^{\log_35}=3^a=5
\end{align*}
\begin{align*}
g(\log_35)&=3^{-\frac{7}{2}\log_35} \\[4pt]
&=3^{\log_35^{-\frac{7}{2}}} \\[4pt]
&=5^{-\frac{7}{2}}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\frac{7}{2}} \\[4pt]
&=\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\Cdota\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{125\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{625}
\end{align*}
g(\log_35)&=3^{-\frac{7}{2}\log_35} \\[4pt]
&=3^{\log_35^{-\frac{7}{2}}} \\[4pt]
&=5^{-\frac{7}{2}}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\frac{7}{2}} \\[4pt]
&=\left(\dfrac{1}{5}\right)^3\Cdota\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{125\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{625}
\end{align*}