休校だからこそ重要な自宅学習

3次関数のグラフの等間隔性

3次関数のグラフの等間隔性数学IAIIB
スポンサーリンク

3次関数のグラフには様々な特徴があります。この記事では3次関数のグラフの等間隔性について説明します。他のサイトでは「3次関数の4等分の法則」や「縦4個×横2個の合同な四角形に埋め込まれる」「5点定理」など,様々な表現方法があるみたいですが,当サイトでは「等間隔性」と表現することにします。

3次関数の等間隔性を知ることで,3次関数のグラフと接線の関係など様々な問題に対して,今までとは異なる考え方ができるようになるかもしれません。

スポンサーリンク

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ
ヒロ

まず,3次関数のグラフにどのような特徴があるかを知ろう。

3次関数のグラフの等間隔性3次関数のグラフは次のような等間隔性をもっている。
3次関数の等間隔性 3次関数の等間隔性

3次関数のグラフと接線の関係

ヒロ
ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を理解するために,まずは,次の例題を解いて3次関数のグラフと接線の関係について知ろう。

例題$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a\neq0)$ とするとき,次の問いに答えよ。
(1) $C:y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(\alpha,~f(\alpha))$ における接線 $\ell$ の方程式を求めよ。
(2) $C$ と $\ell$ の共有点のうち,Pと異なる点をQとするとき,点Qの $x$ 座標を求めよ。
ヒロ
ヒロ

(1)は接線の方程式を求める方法を知っていれば大丈夫なはず。

【(1)の解答】
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ より
\begin{align*}
f'(x)=3ax^2+2bx+c
\end{align*}
となるから,点Pにおける接線 $\ell$ の方程式は
\begin{align*}
&y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)(x-\alpha)+a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d \\[4pt]
&y=(3a\alpha^2+2b\alpha+c)x-2a\alpha^3-b\alpha^2+d
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)は連立方程式を解けば良い。

【(2)の解答】
$C,~\ell$ の方程式から $y$ を消去すると
\begin{align*}
&ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$C$ と $\ell$ は点Pで接しているから,方程式 $(\ast)$ は $x=\alpha$ を重解にもつね。これを利用して賢く因数分解をできるようにしよう。

$(\ast)$ の左辺は $(x-\alpha)^2$ を因数にもつから,残り1つの解を $x=\beta$ とすると,$(\ast)$ は
\begin{align*}
&a(x-\alpha)^2(x-\beta)=0
\end{align*}
と変形できる。定数項に着目すると
\begin{align*}
&-a\alpha^2\beta=2a\alpha^3+b\alpha^2 \\[4pt]
&\beta=-2\alpha-\dfrac{b}{a}
\end{align*}
【(2)の解答の続き】
$(\ast)$ を因数分解すると
\begin{align*}
&a(x-\alpha)^2\left(x+2\alpha+\dfrac{b}{a}\right)=0 \\[4pt]
&x=\alpha,~-2\alpha-\dfrac{b}{a}
\end{align*}
よって,点Qの $x$ 座標は $-2\alpha-\dfrac{b}{a}$ である。

3次関数のグラフの等間隔性

ヒロ
ヒロ

接点Pやもう1つの交点Qの $x$ 座標にどのような関係があるかを調べていこう。

\begin{align*}
ax^3+bx^2-(3a\alpha^2+2b\alpha)x+2a\alpha^3+b\alpha^2=0~\cdots\cdots(\ast)
\end{align*}

方程式 $(\ast)$ の3つの解は $\alpha,~\alpha,~\beta$ であるから,解と係数の関係より
\begin{align*}
2\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}
\end{align*}
が成り立つ。両辺を3で割ると
\begin{align*}
\dfrac{2\alpha+\beta}{3}=-\dfrac{b}{3a}~\cdots\cdots①
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

ここで,変曲点をAとすると $x$ 座標が $-\dfrac{b}{3a}$ であることを思い出そう。

$\mathrm{P}_h(\alpha,~0)$, $\mathrm{A}_h\left(-\dfrac{b}{3a},~0\right)$, $\mathrm{Q}_h(\beta,~0)$ とすると,①は点A$_h$ は線分PQを $1:2$ に内分する点であることを表している。
3次関数の接点と変曲点ともう1つの交点
ヒロ
ヒロ

3次関数が変曲点に関して対称であることを考えよう。

点Aに関して点Pと対称な点をRとすると,$\mathrm{AP=AR}$ であるから,4点Q, R, A, Pから $x$ 軸に下ろした垂線の足は $x$ 軸上に等間隔に並ぶ。
3次関数の接点と変曲点ともう1つの交点
ヒロ
ヒロ

3次関数の対称性より,点Rにおける $C$ の接線 $m$ は接線 $\ell$ と平行になる。

$m$ と $C$ の交点をSとすると,5点Q, R, A, P, Sから $x$ 軸に下ろした垂線の足は $x$ 軸上に等間隔に並ぶ。
3次関数の接点と変曲点ともう1つの交点

1997年 センター数学IIB

ヒロ
ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を利用する練習として,次の問題を解いてみよう。

1997年 センター試験 追試験$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a,~f(a))$ における接線 $\ell$ が,曲線上の他の点 $\mathrm{B}(b,~f(b))$ を通るならば $b=\myBox{アイ}a$ である。

一般的な解法

ヒロ
ヒロ

まず,接線 $\ell$ の方程式を求める。その後 $y=f(x)$ と連立して,$x$ の方程式を立てる。その方程式の $x=a$ 以外の解が $x=b$ である。

ヒロ
ヒロ

このように考えて解いていこう。

$f(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ より
\begin{align*}
f'(x)=3x^2-\dfrac{4}{3}
\end{align*}
だから,点Aにおける接線 $\ell$ の方程式は
\begin{align*}
&y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)(x-a)+a^3-\dfrac{4}{3}a \\[4pt]
&y=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3
\end{align*}
$y=f(x)$ と連立して,
\begin{align*}
&x^3-\dfrac{4}{3}x=\left(3a^2-\dfrac{4}{3}\right)x-2a^3 \\[4pt]
&x^3-3a^2x+2a^3=0 \\[4pt]
&(x-a)^2(x+2a)=0 \\[4pt]
&x=a,~-2a
\end{align*}
よって,$b=-2a$

3次関数の等間隔性を利用した解法

ヒロ
ヒロ

次は3次関数の等間隔性を利用した解法を説明する。

$x^2$ の係数が0であり,定数項は0であるから,原点が変曲点となる。
2点A, Bから $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{H}_1,~\mathrm{H}_2$ とすると,3次関数のグラフの等間隔性より,原点Oは $\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2$ を $1:2$ に内分する点となる。
よって,$b=-2a$
3次関数の接点と変曲点ともう1つの交点
ヒロ
ヒロ

このように,図を描くだけで大した計算もなく,$b=-2a$ と求めることができる。

まとめ

ヒロ
ヒロ

3次関数のグラフの等間隔性を知っていると,接点と変曲点の $x$ 座標が分かっていれば,簡単な計算をするだけで,接線と3次関数のグラフのもう1つの交点の $x$ 座標を求めることができる。

ヒロ
ヒロ

具体的にどのように使うかが難しいので,常に意識しておくことが重要。

タイトルとURLをコピーしました