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2017年センター試験 数学ⅠA 第2問 三角比

2017年 センター数学ⅠA 三角比数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅠA 第2問 三角比の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅠA 第2問 三角比$\sankaku{ABC}$ において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$, $\mathrm{BC}=\sqrt{3}+1$, $\kaku{ABC}=60\Deg$ とする。
(1) $\mathrm{AC}=\sqrt{\myBox{ア}}$ であるから $\sankaku{ABC}$ の外接円の半径は $\sqrt{\myBox{イ}}$ であり
\begin{align*}
\sin\kaku{BAC}=\dfrac{\sqrt{\myBox{ウ}}+\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}}
\end{align*}
である。ただし,$\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$ の解答の願序は問わない。
(2) 辺AC上に点Dを $\sankaku{ABD}$ の面積が $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ になるようにとるとき
\begin{align*}
\mathrm{AB}\Cdot\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}}-\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}
\end{align*}
であるから,$\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

まずはACの長さを求めよう。

【アの解答】
余弦定理より
\begin{align*}
\mathrm{AC}^2&=(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=8-2=6
\end{align*}
$\mathrm{AC}>0$ より,$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$
ヒロ
ヒロ

計算するときに,和の2乗と差の2乗の和を公式として利用している。

和の2乗と差の2乗の和$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$
【例】
\begin{align*}
(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2&=2\left\{(\sqrt{3})^2+1^2\right\} \\[4pt]
&=2(3+1)=8
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は外接円の半径を求める問題。「外接円の半径」ときたら,正弦定理を利用するのが基本。

【イの解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると,正弦定理より

\begin{align*}
R&=\dfrac{\mathrm{AC}}{2\sin B} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{6}}{2\Cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\[4pt]
&=\sqrt{2}
\end{align*}
【正弦定理を利用して外接円の半径を求めるときのポイント】
正弦定理を利用して,外接円の半径を求めるときに,公式通り $2R=\cdots$ とする人が多いが,一般的には $R=\cdots$ とした方が良い。三角定規に現れる有名角の正弦の値は
\begin{align*}
&\sin30\Deg=\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&\sin45\Deg=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[4pt]
&\sin60\Deg=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
となっている。分母が2であるため,正弦定理を $R=\cdots$ の形で利用することで,繁分数を避けることができる。
ヒロ
ヒロ

次は $\sin$ の値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

1つの角とその対辺の長さが分かっているから,正弦定理で求めよう。

【ウ~オの解答】
正弦定理より
\begin{align*}
\sin\kaku{BAC}&=\dfrac{\mathrm{BC}}{2R} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

(2)の解答

ヒロ
ヒロ

次は三角形の面積が分かっている状態から2辺の長さの積を求める問題。

【カ~ケの解答】
$\sin A$ で割ることを考えると,どうせ有理化しないといけないから,
$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ を使おう。
$\sankaku{ABD}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ より
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}\Cdota\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}&=\dfrac{4}{3(\sqrt{3}+1)} \\[4pt]
&=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後のADの長さはABの長さが分かっているから簡単だろう。

【コサの解答】
$\mathrm{AB}\Cdot\mathrm{AD}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{3}$ であり,
$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$ であるから
\begin{align*}
&(\sqrt{3}-1)\mathrm{AD}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{3} \\[4pt]
&\mathrm{AD}=\dfrac{2}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\sqrt{3}-1$ がカタマリとして見えていれば楽だね。

2017年 センター数学ⅠA 三角比を解いた感想

ヒロ
ヒロ

小手先のテクニックみたいな「和の2乗と差の2乗の和」や「正弦定理の利用方法」を使うことで,少し計算が速くなる。

ヒロ
ヒロ

また,少し先を見てうまく式変形することが重要である。

ヒロ
ヒロ

2017年の問題では,特に図を描かなくても最後まで求めることができた。

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