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4次方程式の解法【東北学院大】
2018年 東北学院大4次方程式 $x^4+3x^3+3x^2-x-6=0$ の解のうち，実数解は $x=\myhako$ である。
【考え方と解答】
因数定理を利用して因数分解しよう。与えられた方程式の左辺を $f(x)$ とおくと
因数定理を利用して因数分解しよう。与えられた方程式の左辺を $f(x)$ とおくと
\begin{align*}
&f(1)=1+3+3-1-6=0 \\[4pt]
&f(-2)=16-24+12+2-6=0
\end{align*}
となるから，$f(x)$ は $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$ で割り切れる。よって&f(1)=1+3+3-1-6=0 \\[4pt]
&f(-2)=16-24+12+2-6=0
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&=(x^2+x-2)(x^2+2x+3) \\[4pt]
&=(x-1)(x+2)(x^2+2x+3)
\end{align*}
よって，$f(x)=0$ の解は $x=1,~-2,~-1\pm\sqrt{2}i$ であるから，$f(x)=0$ の実数解は $=1,~-2$ である。f(x)&=(x^2+x-2)(x^2+2x+3) \\[4pt]
&=(x-1)(x+2)(x^2+2x+3)
\end{align*}
ヒロ
今回は $x-1$ と $x+2$ が因数であることを考えて，まとめて割り算を行ったが，1つずつ割り算を行っても良い。
3次式の決定と3次方程式【東京電機大】
2015年 東京電機大3次式 $f(x)$ は $x^3$ の係数が1であり，しかも $f(1)=f(2)=f(6)=12$ をみたしている。方程式 $f(x)=0$ を解け。
プリントを次のリンクからダウンロードできます。
【考え方と解答】
3次式 $f(x)$ の最高次以外の係数が分からないからと言って，
3次式 $f(x)$ の最高次以外の係数が分からないからと言って，
\begin{align*}
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
\end{align*}
とおくのは大変なので，与えられている条件をしっかり考えよう。$f(1)=f(2)=f(6)=12$ が成り立つのだから，$x$ に1, 2, 6を代入したときに0になるような3次式を考えて，それに12を加えれば，条件を満たす3次式が得られる。つまりf(x)=x^3+ax^2+bx+c
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)=(x-1)(x-2)(x-6)+12
\end{align*}
であることが分かる。$f(x)=0$ を解いていく。f(x)=(x-1)(x-2)(x-6)+12
\end{align*}
\begin{align*}
&(x-1)(x-2)(x-6)+12=0 \\[4pt]
&x^3-9x^2+20x=0 \\[4pt]
&x(x^2-9x+20)=0 \\[4pt]
&x(x-4)(x-5)=0 \\[4pt]
&x=0,~4,~5
\end{align*}
&(x-1)(x-2)(x-6)+12=0 \\[4pt]
&x^3-9x^2+20x=0 \\[4pt]
&x(x^2-9x+20)=0 \\[4pt]
&x(x-4)(x-5)=0 \\[4pt]
&x=0,~4,~5
\end{align*}
ヒロ
この問題で $f(x)$ を求めるときに使った考え方は非常に重要である。
ヒロ
この考え方をマスターすることで，3点を通る二次関数や3点を通る円の方程式を求めるときに連立方程式を立てて解く必要もなくなる。
３点を通る２次関数（放物線）の方程式を簡単に求める方法とは？
3点を通る2次関数（放物線）を1文字だけでおいて簡単に求める方法を説明します。これからは連立方程式を解かなくても良くなります。一部の人だけが知っている方法を学んで，ライバルに差を付けましょう。
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2019.07.02
３点を通る円の方程式を簡単に求める方法とは？
3点を通る円の方程式を求めるとき，たった1文字使うだけで簡単に求めることができます。連立方程式を解く必要もないため，楽に速く解けるようになります。そのためには他の単元の知識も必要となります。しかし，単元間の知識がつながるため数学力が上がります。
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2019.07.04