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【数学ⅡB】3次方程式の解と係数の関係【立教大】

3次方程式の解と係数の関係数学IAIIB
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ここでは3次方程式の解と係数の関係とそれに関する問題について説明します。

意味を考えずに必死に覚えている人が多い気がします。

展開の基礎がしっかりしていれば,覚えなくても,その場ですぐに「解と係数の関係」を導くことができます。

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3次方程式の解と係数の関係

ヒロ
ヒロ

3次方程式の解と係数の関係は次のようになっている。

3次方程式の解と係数の関係3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a} \\[4pt]&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a} \\[4pt]&\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

2次方程式の解と係数の関係と同じようにして,その成り立ちを簡単に確認しておこう。

【解と係数の関係】
$\alpha,~\beta,~\gamma$ が $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3解のとき,$x^3$ の係数を考えると
\begin{align*}
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
と因数分解できる。右辺を展開すると
\begin{align*}
ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma
\end{align*}
となるから,左辺の各項の係数と比較して
\begin{align*}
b=-a(\alpha+\beta+\gamma),~c=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha),~d=-a\alpha\beta\gamma
\end{align*}
となる。よって
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a} \\[4pt]&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a} \\[4pt]&\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
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暗算でサクッと展開できないと「展開すること」が面倒に感じるだろう。

ヒロ
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とりあえずは $(a+b+c)^3$ をサクッと展開できる状態が基本なので,これができないのでは話にならない。

ヒロ
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「え?出来ないんだけど・・・」となっている人は,次の記事を読んで解決しておこう。

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