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【数学IA】三角形の成立条件

三角形の成立条件数学IAIIB
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ここでは三角形の成立条件に関する問題を解説します。

三角形の3つの辺の長さは好きなように設定することはできません。

例えば長さが1, 1, 2の3本の線分からは三角形を作ることはできません。

したがって,3本の線分から三角形を作ることができるときには,その線分の長さには何らかの条件があるはずです。

それが三角形の成立条件と呼ばれるものです。

この記事を読むことで,その三角形の成立条件がどんなものかを知り,使いこなせるようになります。

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三角形の成立条件

ヒロ
ヒロ

三角形を作るためには3本の線分の長さにどのような条件が必要かを考えてみよう。

【三角形の成立条件を考える】
$\sankaku{ABC}$ の3辺の長さが $a,~b,~c$ となるための条件を考えよう。
まず,BCを底辺として,残り2辺AB, ACの長さ $b,~c$ の条件を考える。
底辺BC
長さが $b,~c$ である2本の線分を用意する。
例えば,$b,~c$ が次の図のようになっているとき,$b,~c$ の長さが足りず三角形を作ることはできない。
三角形を作れない3辺
三角形を作るためには $b$ と $c$ の和が $a$ より大きくなる必要がある。
三角形を作れる3辺
上の図のようになっていると,次の図のように三角形を作ることができる。
三角形が成り立つための条件
つまり
\begin{align*}
b+c>a~\cdots\cdots①
\end{align*}
という不等式が成り立つ必要がある。
このことはABやCAを底辺にしても同様の不等式,すなわち
\begin{align*}
a+b>c~\cdots\cdots②~かつ~c+a>b~\cdots\cdots③
\end{align*}
が成り立つ必要がある。①~③が三角形の成立条件となるが,もう少し整理することで2本の不等式にすることができる。
②より,$a>c-b$
③より,$a>b-c$
②と③の2本の不等式は,実は1本しか意味がないことが分かる。
$c-b$ と $b-c$ は引く順序が異なるだけだから,$b$ と $c$ が異なるとき,一方が正でもう一方が負である。$b$ と $c$ が等しいときは $a>0$ という「辺の長さ $a$ は正である」という当然とも言える不等式になる。
したがって,$b-c$ と $c-b$ のうち,0以上の方を採用すればよいことになる。つまり $b-c$ の絶対値を利用すれば良く,$a>c-b$ と $a>b-c$ は $a>\abs{b-c}$ という1本の不等式にまとめることができる。
よって,①~③は
\begin{align*} b+c>a~かつ~a>\abs{b-c} \end{align*}
となり
\begin{align*} \abs{b-c}<a<b+c \end{align*}
と表すこともできる。
三角形の成立条件$a,~b,~c$ が三角形の3辺となるための条件は
\begin{align*} \abs{b-c}<a<b+c \end{align*}
が成り立つことである。

三角形の成立条件に関する問題

ヒロ
ヒロ

それでは問題を解くことで知識を強化しよう。

問題$\sankaku{ABC}$ において,$a=4,~b=5$ とする。
(1) 辺の長さ $c$ の範囲を求めよ。
(2) $\sankaku{ABC}$ が鈍角三角形のとき,辺の長さ $c$ の範囲を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
三角形の成立条件を考えよう。
\begin{align*} &\abs{a-b}<c<a+b \\[4pt] &1<c<9~\cdots\cdots① \end{align*}

(2) $\sankaku{ABC}$ が鈍角三角形のとき,辺の長さ $c$ の範囲を求めよ。

ヒロ
ヒロ

まず,鈍角三角形という条件以前に,三角形でなければ話にならないのだから(1)の条件を満たす必要がある。

ヒロ
ヒロ

今回は(1)があるから忘れようがないが,(1)がない問題では注意しよう。

【(2)の考え方と解答】
鈍角三角形になるためには,最大角が鈍角になる必要がある。最大角は最も長い辺の対角であるから,最大辺を考えよう。この問題では $a$ と $b$ では $b$ の方が大きいから,$b$ か $c$ のどちらかが最大辺になることが分かる。$c$ の値によるから場合分けをして考えよう。最大辺を決めれば最大角が決まるから,そのコサインの値が負になれば鈍角三角形になるね。
ヒロ
ヒロ

解答には,この流れも分かるように書いていこう。

【(2)の考え方と解答】
辺BCは最大辺ではないから $A$ は最大角ではない,すなわち $A$ は鈍角ではない。
(i) $B$ が鈍角のとき
条件をみたすのは $b^2>c^2+a^2$ となるときであるから
\begin{align*} &5^2>c^2+4^2 \\[4pt] &c^2<9 \end{align*}
$c>0$ であるから,$0<c<3~\cdots\cdots②$
(ii) $C$ が鈍角のとき
条件をみたすのは $c^2>a^2+b^2$ となるときであるから
\begin{align*} &c^2>4^2+5^2=41 \end{align*}
$c>0$ であるから,$\sqrt{41}<c~\cdots\cdots③$
②,③より,$0<c<3,~\sqrt{41}<c~\cdots\cdots④$
よって,求める $c$ の値の範囲は①と④の共通部分で
\begin{align*} 1<c<3,~\sqrt{41}<c<9 \end{align*}

鋭角三角形となる条件に関する問題

ヒロ
ヒロ

それでは次に鋭角三角形となる条件を考えてみよう。

ヒロ
ヒロ

鋭角三角形になるのは,3つの内角がすべて鋭角であるとき,すなわち最大角が鋭角であるときだと分かるだろう。

ヒロ
ヒロ

このことを考えて,次の問題を解いてみよう。

問題3辺の長さが $3,~5,~x$ である三角形が鋭角三角形となるように,$x$ の範囲を定めよ。
【考え方と解答】
まずは三角形の成立条件から考えよう。その後,最大角に着目するために,最大辺を考えよう。
三角形の成立条件より
\begin{align*} &5-3<x<5+3 \\[4pt] &2<x<8~\cdots\cdots① \end{align*}
最大辺の長さになるのは $5$ または $x$ のいずれかである。
(i) 5が最大辺の長さのとき
鋭角三角形になる条件を考えて
\begin{align*} &5^2<3^2+x^2 \\[4pt] &x^2>16 \end{align*}
$x>0$ より $4<x~\cdots\cdots②$
(ii) $x$ が最大辺の長さのとき
(i)と同様に
\begin{align*} &x^2<3^2+5^2=34 \end{align*}
$x>0$ より $0<x<\sqrt{34}~\cdots\cdots③$
よって,求める $x$ の値の範囲は,①かつ(②または③)より
\begin{align*} 4<x<\sqrt{34} \end{align*}
ヒロ
ヒロ

鈍角三角形になるための条件や鋭角三角形になるための条件は入試でも出題されやすいので,しっかり対応できるようにしておこう。

鈍角三角形と鋭角三角形
  1. 鈍角三角形となるのは,最大角が鈍角のときである。
  2. 鋭角三角形となるのは,最大角が鋭角のときである。

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