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【数学ⅡB】2直線の交点の軌跡【福島大・熊本大・富山大】

2直線の交点の軌跡数学IAIIB
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ここでは2直線の交点の軌跡について説明します。

直交する2直線の交点の軌跡が,よく出題されるため,2直線が直交するかどうかを確認するようにすると良いかもしれません。

様々な問題を解いて,慣れると良いでしょう。

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2直線の交点の軌跡【福島大】

2016年 福島大次の方程式で表される二つの直線 $l_1,~l_2$ を考える。
\begin{align*}
&l_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0 \\[4pt]
&l_2:ax-y-1=0
\end{align*}
(1) $l_1$ は $a$ の値によらず定点を通る。この定点の座標を求めなさい。
(2) $a$ が実数全体を動くときの,$l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めなさい。
【(1)の考え方と解答】
$(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$ を $a$ の方程式とみて整理すると
\begin{align*}
(x-y+1)a-(x+y+1)=0
\end{align*}
これが $a$ の値によらず成り立つのは
\begin{align*}
\begin{cases}
x-y+1=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x+y+1=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つときである。
$①+②$ より
\begin{align*}
&2x+2=0~~\therefore x=-1
\end{align*}
$②-①$ より
\begin{align*}
&2y=0~~\therefore y=0
\end{align*}
よって,$l_1$ は $a$ の値によらず定点 $(-1,~0)$ を通る。

(2) $a$ が実数全体を動くときの,$l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めなさい。

【(2)の考え方と解答】
2直線 $l_1,~l_2$ の交点の座標を $(X,~Y)$ とすると
\begin{align*}
\begin{cases}
(a-1)(X+1)-(a+1)Y=0 &\cdots\cdots③ \\[4pt]
aX-Y-1=0 &\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つ。$X\neq0$ のとき,④より,$a=\dfrac{Y+1}{X}$
③に代入すると
\begin{align*}
&\left(\dfrac{Y+1}{X}-1\right)(X+1)-\left(\dfrac{Y+1}{X}+1\right)Y=0 \\[4pt]
&Y(X+1)-(X-1)(X+1)-Y^2-(X+1)Y=0 \\[4pt]
&X^2+Y^2=1
\end{align*}
$X=0$ のとき,④より $Y=-1$ となり,③より
\begin{align*}
&(a-1)+(a+1)=0 \\[4pt]
&a=0
\end{align*}
よって,求める軌跡は
\begin{align*}
円~x^2+y^2=1,~~ただし,点(0,~1)~を除く。
\end{align*}

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