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【数学ⅡB】等差数列の一般項と和【関西学院大】

等差数列の一般項数学IAIIB

等差数列の一般項と和について説明します。

まず,等差数列とはどのような数列かを理解することが重要です。

大学入試において,等差数列の一般項だけを求める問題は少なく,一般項を求めてからが本番という問題が多いのですが,一般項を正しく求めることができないと大失点につながるため,一般項を正確に求めることができるようにすることが大切です。

また,等差数列の和の公式については,その成り立ちを知ることで簡単に覚えることができます。さらに途中の項からの和を考える際にも公式の捉え方を少し変えるだけで,そのまま公式を利用することができます。

等差数列の一般項と和を正確に求められるようにしましょう。

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等差数列の一般項と和

ヒロ
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等差数列の定義は次の通りである。

等差数列隣り合う2項の差が一定の数列を等差数列という。また,隣り合う2項の差を公差という。
ヒロ
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等差数列の一般項は次のように求めることができる。

初項 $a$,公差 $d$ の等差数列の第 $n$ 項を $a_n$ とする。初項に公差を1回加えると第2項になり,初項に公差を2回加えると第3項になることを考えると,初項に公差を $n-1$ 回加えると第 $n$ 項になることが分かるから,一般項は
\begin{align*}
a_n=a+d(n-1)
\end{align*}
となる。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると
\begin{align*}
S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n~\cdots\cdots①
\end{align*}
加える順番を変えても和は変わらないから
\begin{align*}
S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_2+a_1~\cdots\cdots②
\end{align*}
①と②の辺々を加えると
\begin{align*}
2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)
\end{align*}
ここで,右辺の左から $k$ 番目を考えると
\begin{align*}
a_k+a_{n-k+1}&=a+d(k-1)+a+d(n-k) \\[4pt]
&=a+a+d(n-1) \\[4pt]
&=a_1+a_n
\end{align*}
となるから,各項はすべて等しいことが分かる。よって
\begin{align*}
2S_n&=n(a_1+a_n) \\[4pt]
S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}
\end{align*}
これは次のように解釈しておこう。
\begin{align*}
(等差数列の和)=\dfrac{(初項)+(末項)}{2}\times (項数)
\end{align*}
ヒロ
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ここで次のことに注意しよう。

等差数列は途中からでも等差数列である。
例えば数列 $\{a_n\}$ の第 $k$ 項から第 $l$ 項までの和 $S$ を求める場合,第 $k$ 項を初項とみなせばよい。項数は $l-k+1$ であるから
\begin{align*}
S=\dfrac{a_k+a_l}{2}(l-k+1)
\end{align*}
となる。

2021年 昭和大

2021年 昭和大数列 $\{a_n\}$ は初項が2の等差数列であり,初項から第5項までの和が70である。この数列の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表すと,$a_n=\myhako$ であり,$S_n=\Sum{k=1}{n}a_k$ を $n$ の式で表すと,$S_n=\myhako$ である。
【解答と考え方】
初項から第5項までの和が70であるから
\begin{align*}
&\dfrac{2+a_5}{2}\Cdota5=70 \\[4pt]
&2+a_5=28 \\[4pt]
&a_5=26
\end{align*}
公差を $d$ とすると
\begin{align*}
d&=\dfrac{a_5-a_1}{4} \\[4pt]
&=\dfrac{26-2}{4}=6
\end{align*}
よって,一般項は
\begin{align*}
a_n=6n-4
\end{align*}
また,$S_n$ は
\begin{align*}
S_n&=\dfrac{a_1+a_n}{2}n \\[4pt]
&=\dfrac{2+6n-4}{2}n \\[4pt]
&=3n^2-n
\end{align*}
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