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高次方程式に帰着する問題【中部大】
2018年 中部大方程式 $\sqrt{x^2-27}-\sqrt{2x^2+9}=x$ の実数解は，$x=\myhako$ である。
【考え方と解答】
まずは根号がなくなるように移項や2乗をして変形しよう。与えられた方程式より
まずは根号がなくなるように移項や2乗をして変形しよう。与えられた方程式より
\begin{align*}
\sqrt{x^2-27}=\sqrt{2x^2+9}+x
\end{align*}
両辺を2乗すると\sqrt{x^2-27}=\sqrt{2x^2+9}+x
\end{align*}
\begin{align*}
&x^2-27=2x^2+9+2x\sqrt{2x^2+9}+x^2 \\[4pt]
&2x\sqrt{2x^2+9}=-2x^2-36 \\[4pt]
&x\sqrt{2x^2+9}=-x^2-18
\end{align*}
右辺は負であるから，左辺も負であり $x<0$ である。この下で両辺を2乗すると &x^2-27=2x^2+9+2x\sqrt{2x^2+9}+x^2 \\[4pt]
&2x\sqrt{2x^2+9}=-2x^2-36 \\[4pt]
&x\sqrt{2x^2+9}=-x^2-18
\end{align*}
\begin{align*} &x^2(2x^2+9)=x^4+36x^2+324 \\[4pt] &x^4-27x^2-324=0 \\[4pt] &(x^2-36)(x^2+9)=0 \\[4pt] &x=\pm6,~\pm3i \end{align*}
$x<0$ より，$x=-6$相反方程式【産業医科大】
2011年 産業医科大4次方程式 $2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$ の実数解のうち最大のものは $\myhako$ である。
【考え方と解答】
この4次方程式を見てすぐに「相反方程式だ！」と分かる人は解けるだろう。係数が左右対称の方程式を相反方程式というが，これは解法を知っていれば簡単に解ける。
$x=0$ は $2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$ の解でないから，両辺を $x^2$ で割ると
この4次方程式を見てすぐに「相反方程式だ！」と分かる人は解けるだろう。係数が左右対称の方程式を相反方程式というが，これは解法を知っていれば簡単に解ける。
$x=0$ は $2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$ の解でないから，両辺を $x^2$ で割ると
\begin{align*}
&2x^2+7x+4+\dfrac{7}{x}+\dfrac{2}{x^2}=0 \\[4pt]
&2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4=0 \\[4pt]
&2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=0 \\[4pt]
&\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left\{2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+7\right\}=0 \\[4pt]
&(x^2+1)(2x^2+7x+2)=0 \\[4pt]
&x=\pm i,~\dfrac{-7\pm\sqrt{33}}{4}
\end{align*}
よって，求める最大の実数解は $x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{4}$&2x^2+7x+4+\dfrac{7}{x}+\dfrac{2}{x^2}=0 \\[4pt]
&2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4=0 \\[4pt]
&2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=0 \\[4pt]
&\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left\{2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+7\right\}=0 \\[4pt]
&(x^2+1)(2x^2+7x+2)=0 \\[4pt]
&x=\pm i,~\dfrac{-7\pm\sqrt{33}}{4}
\end{align*}