2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2017年 センターⅠA 第1問 数と式 $x$ は正の実数で，$x^{2}+\dfrac{4}{x^{2}}=9$ を満たすとする。このとき
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{2}=\myBox{アイ}
\end{align*}
であるから，$x+\dfrac{2}{x}=\sqrt{\mybox{アイ}}$ である。さらに\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{2}=\myBox{アイ}
\end{align*}
\begin{align*}
x^{3}+\dfrac{8}{x^{3}}&=\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x^{2}+\dfrac{4}{x^{2}}-\myBox{ウ}\right) \\[4pt]
&=\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ}}
\end{align*}
である。またx^{3}+\dfrac{8}{x^{3}}&=\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x^{2}+\dfrac{4}{x^{2}}-\myBox{ウ}\right) \\[4pt]
&=\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ}}
\end{align*}
\begin{align*}
x^4+\dfrac{16}{x^4}=\myBox{キク}
\end{align*}
である。x^4+\dfrac{16}{x^4}=\myBox{キク}
\end{align*}
考え方と解答
ヒロ
丁寧に計算していこう。
【アイの解答】
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2&=x^2+\dfrac{4}{x^2}+4 \\[4pt]
&=9+4=13
\end{align*}
$x>0$ より，$x+\dfrac{2}{x}=\sqrt{13}$\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2&=x^2+\dfrac{4}{x^2}+4 \\[4pt]
&=9+4=13
\end{align*}
ヒロ
次は因数分解して値を求める問題。
ヒロ
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用すれば良いだけだね。
【ウ～カの解答】
\begin{align*}
x^3+\dfrac{8}{x^3}&=\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-2\right) \\[4pt]
&=\sqrt{13}\Cdota(9-2) \\[4pt]
&=7\sqrt{13}
\end{align*}
x^3+\dfrac{8}{x^3}&=\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-2\right) \\[4pt]
&=\sqrt{13}\Cdota(9-2) \\[4pt]
&=7\sqrt{13}
\end{align*}
ヒロ
偶数乗の和だから，対称式の基本を知っていれば大丈夫なはず。
2文字の対称式の変形
$n$ を自然数とするとき，次式が成り立つ。
\begin{align*}
x^{2n}+\dfrac{1}{x^{2n}}=\left(x^n+\dfrac{1}{x^n}\right)^2-2
\end{align*}
x^{2n}+\dfrac{1}{x^{2n}}=\left(x^n+\dfrac{1}{x^n}\right)^2-2
\end{align*}
【キクの解答】
\begin{align*}
x^4+\dfrac{16}{x^4}&=\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}\right)^2-8 \\[4pt]
&=9^2-8=73
\end{align*}
x^4+\dfrac{16}{x^4}&=\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}\right)^2-8 \\[4pt]
&=9^2-8=73
\end{align*}
2017年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想
ヒロ
最初の問題でよくあるのは，$x+\dfrac{2}{x}$ の値が与えられて，$x^2+\dfrac{4}{x^2}$ の値を求めるもので，それと勘違いしないようにしよう。
ヒロ
丁寧に誘導されているので，落ち着いて解けば，ほとんどの人が解けるだろう。
