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2020.11.132022.01.27

数学IAIIB

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底の変換公式を理解しよう

ヒロ

それでは底の変換公式の理解を深めよう。

【底を変えよう】
　1つの整数を色々な底の対数で表すことで，その変化を調べてみよう。例えば，2を色々な底の対数で表してみる。底が2の場合は

$2=\log_24$ となる。これがサクサク出てこないと話にならないので，「対数の性質と計算」の記事を読んでから戻ってきて欲しい。
　底が4や8，16の場合も考えると，次のようになる。

$\begin{align*} &2=\log_24,~~2=\log_416 \\[4pt] &2=\log_864,~~2=\log_{16}256 \end{align*}$

底が2から，

$2^2=4$ ，

$2^3=8$ ，

$2^4=16$ と変化すると，それに伴って真数も4から，

$4^2=16$ ，

$4^3=64$ ，

$4^4=256$ と変化していることが分かる。このことは，対数の定義を考えると当たり前に感じることができるだろう。

ヒロ

この結果，次の公式が得られる。

底の変換公式I

$a$ を1でない正の数，

$b$ を正の数，

$m,n$ を実数とすると

$\begin{align*} \log_{a^m}b^n=\dfrac{n}{m}\log_ab \end{align*}$

が成り立つ。特に

$m=n$ のとき

$\begin{align*}\log_ab=\log_{a^n}b^n\end{align*}$

ヒロ

上の公式も利用価値は高いが，累乗数ではない数に底を変えたいときもあるだろう。

【底を自由に変える】
　例えば2を底が2の対数で表すと

$2=\log_24$ となるが，底を3に変えたいとする。さっきの考え方を利用すると，底を2から3に変えるには，「2を何乗すると3になるか」を考えればよい。対数の性質から

$2^{\log_23}=3$ であることが分かり，底の変換公式I「

$\log_ab=\log_{a^n}b^n$ 」より

$\begin{align*} \log_24&=\log_{2^{\log_23}}4^{\log_23} \\[4pt] &=\log_34^{\log_23} \end{align*}$

となり，底を2から3に変えることができる。さらに対数の性質を利用して変形すると，次のようになる。

$\begin{align*} \log_24=\log_23\Cdota\log_34 \end{align*}$

ヒロ

底の変換公式を導く途中であるが，別の公式が得られる。

対数のリレー公式

$a,~b$ を1でない正の数とし，

$c$ を正の数とすると

$\begin{align*} \log_ab\Cdota\log_bc=\log_ac \end{align*}$

が成り立つ。真数と底が等しいときは，連結することができる公式である。これは3つでも4つでも連結することができる。ちなみに3つの場合は次のようになる。次の式では，

$a,~b,~c$ は1でない正の数であり，

$d$ は正の数とする。

$\begin{align*} \log_ab\Cdota\log_bc\Cdota\log_cd=\log_ad \end{align*}$

また，循環する場合は1となることも知っておこう。

$\begin{align*} &\log_ab\Cdota\log_ba=1 \\[4pt] &\log_ab\Cdota\log_bc\Cdota\log_ca=1 \end{align*}$

ヒロ

個人的に「対数のリレー公式」と呼んでいるだけであり，一般的な呼称ではない。

ヒロ

さて，底の変換公式の話に戻ろう。

【底の変換公式の導出へ】
　先程計算した

$\log_24=\log_23\Cdot\log_34$ から

$\begin{align*} \log_34=\dfrac{\log_24}{\log_23} \end{align*}$

と変形することができる。底を2から3に変えようと変形したら，逆に「底を3から2に変換する公式」が得られた。文字を使った式でも考えておこう。リレー公式から

$\log_ca\Cdot\log_ab=\log_cb$ が成り立つから

$\begin{align*} \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca} \end{align*}$

となる。

ヒロ

これで底の変換公式の導出ができたことになる。

底の変換公式II

$a,~b,~c$ を1でない正の数とするとき

$\begin{align*} \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca} \end{align*}$

が成り立つ。特に

$c=b$ とすると

$\begin{align*} \log_ab=\dfrac{1}{\log_ba} \end{align*}$

となる。これは底と真数を入れ換えると逆数になることを表している。

ヒロ

入試問題で「底の変換公式を証明せよ」と出題された場合は，次のように書くのが良いだろう。

【底の変換公式の証明】

$a^{\log_ab}=b$ の両辺に対して，底を

$c$ とする対数をとると

$\begin{align*} &\log_ca^{\log_ab}=\log_cb \\[4pt] &\log_ab\Cdota\log_ca=\log_cb \\[4pt] &\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca} \end{align*}$

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