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【数学IA】90°±θと180°-θの三角比【グラグラするとかしないとか】

三角比の変形 グラグラするとかしないとか数学IAIIB
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ここでは三角比の変形について解説します。

90°±θや180°-θの三角比が現れたときに変形できるようにしましょう。

定義に基づいた方法と簡易法「グラグラするとかしないとか」について説明します。

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90°-θ の三角比

ヒロ
ヒロ

まずは $90\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。

【$90\Deg-\theta$ の三角比】
$\kaku{A}=\theta$ である三角形ABCを考える。このとき $\kaku{C}=90\Deg-\theta$ となり,考えやすいように向きを変えたものを並べると次のようになる。
90°-θの三角比
三角形ABCにおいて斜辺ACの長さを1とすると,
\begin{align*}
\text{AB}=\cos\theta,~\text{BC}=\sin\theta
\end{align*}
である。三角形ABCの向きを変えて $90\Deg-\theta$ に着目すると,
\begin{align*}
\text{AB}=\sin(90\Deg-\theta),~\text{BC}=\cos(90\Deg-\theta)
\end{align*}
と表すことができる。ABとBCの長さを2通りの方法で表したが,元が同じ三角形で向きを変えただけだから,それぞれの辺の長さは等しい。したがって
\begin{align*}
&\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta \\[4pt]&\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta
\end{align*}
また,右側の三角形で $\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{\sin(90\Deg-\theta)}{\cos(90\Deg-\theta)}$ であり,左側の三角形では $\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であるから
\begin{align*}
&\dfrac{\sin(90\Deg-\theta)}{\cos(90\Deg-\theta)}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[4pt]&\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}

180°-θ の三角比

ヒロ
ヒロ

次に $180\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。

【$180\Deg-\theta$ の三角比】
原点を中心とする単位円周上の点をPとし,OPと $x$ 軸の正の方向とのなす角 $\kaku{AOP}$ を $180\Deg-\theta$ とする。
180°-θの三角比
三角比の定義より
\begin{align*}
&\sin(180\Deg-\theta)=y \\[4pt]&\cos(180\Deg-\theta)=x \\[4pt]&\tan(180\Deg-\theta)=\dfrac{y}{x}
\end{align*}
となる。ここで $y$ 軸に関して点Pと対称な点をQとすると $\text{Q}(-x,~y)$ となる。
180°-θの三角比
$\kaku{AOQ}=\theta$ であるから
\begin{align*}
&\cos\theta=-x \\[4pt]&\sin\theta=y \\[4pt]&\tan\theta=-\dfrac{y}{x}
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
&\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta \\[4pt]&\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta \\[4pt]&\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta
\end{align*}

90°+θ の三角比

ヒロ
ヒロ

$90\Deg+\theta$ の三角比を考えよう。

【$90\Deg+\theta$ の三角比】
点Aの座標を $(1,~0)$ とする。原点を中心とする単位円周上の点をPとし,OPと $x$ 軸の正の方向とのなす角 $\kaku{AOP}$ を $90\Deg+\theta$ とする。
90°+θの三角比
三角比の定義より
\begin{align*}
&\sin(90\Deg+\theta)=y \\[4pt]&\cos(90\Deg+\theta)=x \\[4pt]&\tan(90\Deg+\theta)=\dfrac{y}{x}
\end{align*}
となる。ここで $\kaku{AOQ}=\theta$ となる点を $\text{Q}(X,~Y)$ とし,点Pから $y$ 軸に下ろした垂線の足をH$_1$,点Qから $x$ 軸に下ろした垂線の足をH$_2$ とする。
90°+θの三角比
このとき $\sankaku{OPH_1}\equiv\sankaku{OQH_2}$ であるから,符号に注意すると
\begin{align*}
X=y,~Y=-x
\end{align*}
となる。よって
\begin{align*}
&\sin\theta=Y=-x \\[4pt]&\cos\theta=X=y \\[4pt]&\tan\theta=\dfrac{Y}{X}=-\dfrac{x}{y}
\end{align*}
となる。したがって
\begin{align*}
&\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta \\[4pt]&\cos(90\Deg+\theta)=\sin\theta \\[4pt]&\tan(90\Deg+\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}

グラグラするとかしないとか

ヒロ
ヒロ

「グラグラするとかしないとか」と呼ばれる簡易法を説明する。

ヒロ
ヒロ

慣れれば3秒で変形できるようになるだろう。

【グラグラするとかしないとか】
まずは次のルールを覚えよう。
  • 90°系は「変わる」,180°系は「変わらない」
  • $\theta$ は小さな正の角
  • 符号は元の三角比で考える

ここで「変わる」とは

\begin{align*}
&\sin \Longrightarrow \cos \\[4pt]&\cos \Longrightarrow \sin \\[4pt]&\tan \Longrightarrow \dfrac{1}{\tan}
\end{align*}
と変わることを表している。逆に「変わらない」は $\sin,~\cos,~\tan$ がそのまま変わらないことを表す。
「変わる」と「変わらない」は角材の安定度で判断すると覚えやすい。角材が垂直に立っているとき(90°系)はグラグラして不安定だから「変わる」,水平になっているとき(180°系)は安定して「変わらない」という具合に関連付けると忘れないだろう。
グラグラするとかしないとか

ヒロ
ヒロ

それでは具体的に説明していく。

【具体的な説明】
$\cos(90\Deg+\theta)$ の書き換えを考える。
まず $90\Deg$ を見て「90°系」と判断する。したがって,符号を無視すると $\cos(90\Deg+\theta)=\sin\theta$ となる。あとは符号が正ならそのままで,負ならマイナスを付けて完成。
符号を考えるときは $\theta$ は小さな正の角として,元の符号を考える。元の符号というのは,今回は $\cos(90\Deg+\theta)$ の符号ということで,点Pの $x$ 座標の符号を考える。簡単に単位円を描くか思い浮かべよう。
グラグラするとかしないとか
点Pの $x$ 座標は負であるから,マイナスを付けて
\begin{align*}
\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta
\end{align*}
となる。$\sin(90\Deg+\theta)$ の場合は,90°系で「変わる」から $\cos\theta$ で,符号は上図の点Pの $y$ 座標の符号を見て正と分かるから,
\begin{align*}
\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta
\end{align*}
となる。$\tan(90\Deg+\theta)$ の場合は「変わる」から $\dfrac{1}{\tan\theta}$ で,符号はOPの傾きを見て負と分かるから
\begin{align*}
\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に $180\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。

【$180\Deg-\theta$ の三角比】
グラグラするとかしないとか
$\cos(180\Deg-\theta)$ の場合,180°系で「変わらない」から $\cos\theta$ で,符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負と分かるから
\begin{align*}
\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta
\end{align*}
同じようにして $\sin(180\Deg-\theta)$ と $\tan(180\Deg-\theta)$ も考えよう。
180°系で「変わらない」からそれぞれ $\sin\theta,~\tan\theta$ で,サインの符号は点Pの $y$ 座標を見て正であり,タンジェントの符号はOPの傾きを見て負であるから
\begin{align*}
&\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta \\[4pt]&\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta
\end{align*}
となる。
ヒロ
ヒロ

この方法を身に付けることで,数学Ⅱで角が180°以上に拡張されても柔軟に対応することができる。

【180°以上の角に対応】
例えば $\cos(180\Deg+\theta)$ の場合は,180°系で「変わらない」から,符号を無視して $\cos\theta$ となる。
グラグラするとかしないとか
符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負であるから,
\begin{align*}
\cos(180\Deg+\theta)=-\cos\theta
\end{align*}
となる。サインやタンジェントも同様に考えて
\begin{align*}
&\sin(180\Deg+\theta)=-\sin\theta \\[4pt]&\tan(180\Deg+\theta)=\tan\theta
\end{align*}
となることがすぐに分かるだろう。

90°±θ,180°-θ の三角比のまとめ

ヒロ
ヒロ

$90\Deg\pm\theta,~180\Deg-\theta$ の三角比をまとめておく。

三角比の変形のまとめ
  1.  $\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta$
  2.  $\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta$
  3.  $\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
  4.  $\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta$
  5.  $\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta$
  6.  $\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta$
  7.  $\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta$
  8.  $\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta$
  9.  $\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
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