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【数学ⅡB】底の変換公式【北海学園大・大阪工業大・星薬科大・立命館大】

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対数の底の変換公式数学IAIIB

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2018年 北海学園大

2018年 北海学園大$\log_25=a$ とするとき,$\log_{10}25$ を $a$ を用いて表せ。
【考え方と解答】
底を2に変えよう。
\begin{align*}
\log_{10}25&=\dfrac{\log_225}{\log_210} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_25^2}{\log_2(2\Cdot5)} \\[4pt]
&=\dfrac{2\log_25}{\log_22+\log_25} \\[4pt]
&=\dfrac{2a}{1+a}
\end{align*}

2020年 大阪工業大

2020年 大阪工業大$\log_42=\myhako$ であり,
\begin{align*}
A=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94)
\end{align*}
を簡単にすると,$A=\myhako$ となる。
【考え方と解答】
$\log_42$ は底の変換公式を使うまでもないが,あえて使うと次のようになる。
\begin{align*}
\log_42=\dfrac{1}{\log_24}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
次は $A$ の値を求めよう。$\log_ab=\log_{a^n}b^n$ を使って変形していく。
\begin{align*}
A&=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94) \\[4pt]&=(\log_29+\log_2\sqrt{3})(\log_32+\log_32) \\[4pt]&=\log_29\sqrt{3}\Cdota2\log_32 \\[4pt]&=2\log_23^{\frac{5}{2}}\Cdota\log_32 \\[4pt]&=5\log_23\Cdota\log_32 \\[4pt]&=5
\end{align*}
※ $\log_94$ は底と真数の両方を $\dfrac{1}{2}$ 乗する計算を暗算で行って変形している。
\begin{align*}
\log_94=\log_{9^{\frac{1}{2}}}4^{\frac{1}{2}}=\log_32
\end{align*}

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