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2018年 北海学園大
2018年 北海学園大$\log_25=a$ とするとき，$\log_{10}25$ を $a$ を用いて表せ。
【考え方と解答】
底を2に変えよう。
底を2に変えよう。
\begin{align*}
\log_{10}25&=\dfrac{\log_225}{\log_210} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_25^2}{\log_2(2\Cdot5)} \\[4pt]
&=\dfrac{2\log_25}{\log_22+\log_25} \\[4pt]
&=\dfrac{2a}{1+a}
\end{align*}
\log_{10}25&=\dfrac{\log_225}{\log_210} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_25^2}{\log_2(2\Cdot5)} \\[4pt]
&=\dfrac{2\log_25}{\log_22+\log_25} \\[4pt]
&=\dfrac{2a}{1+a}
\end{align*}
2020年 大阪工業大
2020年 大阪工業大$\log_42=\myhako$ であり，
\begin{align*}
A=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94)
\end{align*}
を簡単にすると，$A=\myhako$ となる。A=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94)
\end{align*}
【考え方と解答】
$\log_42$ は底の変換公式を使うまでもないが，あえて使うと次のようになる。
$\log_42$ は底の変換公式を使うまでもないが，あえて使うと次のようになる。
\begin{align*}
\log_42=\dfrac{1}{\log_24}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
次は $A$ の値を求めよう。$\log_{a^m}b^n=\dfrac{n}{m}\log_ab$ を使って変形していく。\log_42=\dfrac{1}{\log_24}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
A&=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94) \\[4pt]
&=\left(2\log_23+\dfrac12\log_23\right)(\log_32+\log_32) \\[4pt]
&=\dfrac52\log_23\Cdota2\log_32 \\[4pt]
&=5
\end{align*}
※ $\log_94$ は底と真数の両方を $\dfrac{1}{2}$ 乗する計算を暗算で行って変形している。A&=(\log_29+\log_43)(\log_32+\log_94) \\[4pt]
&=\left(2\log_23+\dfrac12\log_23\right)(\log_32+\log_32) \\[4pt]
&=\dfrac52\log_23\Cdota2\log_32 \\[4pt]
&=5
\end{align*}
\begin{align*}
\log_94=\log_{9^{\frac{1}{2}}}4^{\frac{1}{2}}=\log_32
\end{align*}
\log_94=\log_{9^{\frac{1}{2}}}4^{\frac{1}{2}}=\log_32
\end{align*}