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【数学ⅡB】(等差)×(等比)型の数列の和【東京女子医科大】

等差×等比型の数列の和数学IAIIB

ここでは(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法を説明します。

(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法は,等比数列の和を求める方法と同じ方法なので,等比数列の和の公式の導出をできる人にとっては楽に理解できるでしょう。

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(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法

ヒロ
ヒロ

(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法は次の通り。

(等差)×(等比)型の数列の和(等差)×(等比)型の数列の和 $S$ を求めるときは,等比数列の公比を $r$ とすると,$S-rS$ を計算する。

練習問題

練習問題$a_n=(2n-1)\Cdot3^{n-1}$ とするとき,$S=\Sum{k=1}{n}a_k$ を求めよ。
【解答と考え方】
\begin{align*}
S&=1+3\Cdota3+5\Cdota3^2+\cdots+(2n-1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]
3S&=~~~~~1\Cdota3+3\Cdota3^2+\cdots+(2n-3)\Cdota3^{n-1}+(2n-1)\Cdota3^n
\end{align*}
辺々の差をとると
\begin{align*}
-2S&=1+2\Cdota3+2\Cdota3^2+\cdots+2\Cdota3^{n-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+2\Cdota\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+3^n-3-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=-(2n-2)\Cdota3^n-2
\end{align*}
両辺を $-2$ で割って
\begin{align*}
S=(n-1)\Cdota3^n+1
\end{align*}

2020年 東京女子医科大

ヒロ
ヒロ

次の問題は(等差)×(等比)型の数列の和ではないが,良い練習となるだろう。

2020年 東京女子医科大$\Sum{k=1}{n}k^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ を求めよ。
【解答と考え方】
求める和を $S$ とおく。
\begin{align*}
S=1^2\Cdota\dfrac{1}{2}+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots①
\end{align*}
①の両辺に $\dfrac{1}{2}$ をかけると
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S=1^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(n-1)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S&=\dfrac{1}{2}+3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots③ \\[4pt]
S&=1+3\Cdota\dfrac{1}{2}+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots④
\end{align*}
$④-③$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S&=1+2\Cdota\dfrac{1}{2}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\[4pt]
S&=2+2+2\Cdota\dfrac{1}{2}+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+2\Cdota\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1}{2}}-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+4-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=6-\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}
\end{align*}
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