ここでは(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法を説明します。
(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法は,等比数列の和を求める方法と同じ方法なので,等比数列の和の公式の導出をできる人にとっては楽に理解できるでしょう。
(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法
ヒロ
(等差)×(等比)型の数列の和を求める方法は次の通り。
(等差)×(等比)型の数列の和(等差)×(等比)型の数列の和 $S$ を求めるときは,等比数列の公比を $r$ とすると,$S-rS$ を計算する。
練習問題
練習問題$a_n=(2n-1)\Cdot3^{n-1}$ とするとき,$S=\Sum{k=1}{n}a_k$ を求めよ。
【解答と考え方】
\begin{align*}
S&=1+3\Cdota3+5\Cdota3^2+\cdots+(2n-1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]
3S&=~~~~~1\Cdota3+3\Cdota3^2+\cdots+(2n-3)\Cdota3^{n-1}+(2n-1)\Cdota3^n
\end{align*}
辺々の差をとるとS&=1+3\Cdota3+5\Cdota3^2+\cdots+(2n-1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]
3S&=~~~~~1\Cdota3+3\Cdota3^2+\cdots+(2n-3)\Cdota3^{n-1}+(2n-1)\Cdota3^n
\end{align*}
\begin{align*}
-2S&=1+2\Cdota3+2\Cdota3^2+\cdots+2\Cdota3^{n-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+2\Cdota\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+3^n-3-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=-(2n-2)\Cdota3^n-2
\end{align*}
両辺を $-2$ で割って-2S&=1+2\Cdota3+2\Cdota3^2+\cdots+2\Cdota3^{n-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+2\Cdota\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=1+3^n-3-(2n-1)\Cdota3^n \\[4pt]
&=-(2n-2)\Cdota3^n-2
\end{align*}
\begin{align*}
S=(n-1)\Cdota3^n+1
\end{align*}
S=(n-1)\Cdota3^n+1
\end{align*}
2020年 東京女子医科大
ヒロ
次の問題は(等差)×(等比)型の数列の和ではないが,良い練習となるだろう。
2020年 東京女子医科大$\Sum{k=1}{n}k^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ を求めよ。
【解答と考え方】
求める和を $S$ とおく。
求める和を $S$ とおく。
\begin{align*}
S=1^2\Cdota\dfrac{1}{2}+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots①
\end{align*}
①の両辺に $\dfrac{1}{2}$ をかけるとS=1^2\Cdota\dfrac{1}{2}+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S=1^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(n-1)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①-②$ より\dfrac{1}{2}S=1^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(n-1)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S&=\dfrac{1}{2}+3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots③ \\[4pt]
S&=1+3\Cdota\dfrac{1}{2}+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots④
\end{align*}
$④-③$ より\dfrac{1}{2}S&=\dfrac{1}{2}+3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}~\cdots\cdots③ \\[4pt]
S&=1+3\Cdota\dfrac{1}{2}+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}S&=1+2\Cdota\dfrac{1}{2}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\[4pt]
S&=2+2+2\Cdota\dfrac{1}{2}+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+2\Cdota\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1}{2}}-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+4-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=6-\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}
\end{align*}
\dfrac{1}{2}S&=1+2\Cdota\dfrac{1}{2}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\[4pt]
S&=2+2+2\Cdota\dfrac{1}{2}+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}-(2n-1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+2\Cdota\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1}{2}}-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=2+4-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-(n^2+4n-2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[4pt]
&=6-\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}
\end{align*}