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2004年 長岡技術科学大
2004年 長岡技術科学大次の問いに答えよ。
(1) 角 $\alpha,~\beta$ に対して2点 $(\cos\alpha,~\sin\alpha)$, $(\cos(-\beta),~\sin(-\beta))$ 間の距離を求めよ。
(2) 2点 $(1,~0)$, $(\cos(\alpha+\beta),~\sin(\alpha+\beta))$ 間の距離を求めよ。
(3) 前問(1), (2)で求めた距離が等しいことに注意して，三角関数 $\cos\theta$ についての加法定理を示せ。
(1) 角 $\alpha,~\beta$ に対して2点 $(\cos\alpha,~\sin\alpha)$, $(\cos(-\beta),~\sin(-\beta))$ 間の距離を求めよ。
(2) 2点 $(1,~0)$, $(\cos(\alpha+\beta),~\sin(\alpha+\beta))$ 間の距離を求めよ。
(3) 前問(1), (2)で求めた距離が等しいことに注意して，三角関数 $\cos\theta$ についての加法定理を示せ。
(1)は三平方の定理を理解していれば，簡単ですね。
【(1)の解答】
求める距離は
求める距離は
\begin{align*}
&\sqrt{(\cos\alpha-\cos(-\beta))^2+(\sin\alpha-\sin(-\beta))^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}
\end{align*}
&\sqrt{(\cos\alpha-\cos(-\beta))^2+(\sin\alpha-\sin(-\beta))^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}
\end{align*}
(2)も(1)と同じように計算するだけですね。
【(2)の解答】
求める距離は
求める距離は
\begin{align*}
&\sqrt{(\cos(\alpha+\beta)-1)^2+\sin^2(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+1} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}
\end{align*}
&\sqrt{(\cos(\alpha+\beta)-1)^2+\sin^2(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+1} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}
\end{align*}
(3)は(1)と(2)の結果を利用して，加法定理を証明するだけですね。
【(3)の解答】
(1)と(2)の結果より
(1)と(2)の結果より
\begin{align*}
&\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}
&\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}