【数学ⅡB】区間が動く場合の3次関数の最大値と最小値【高知大】

考える区間が動く場合の3次関数の最大値と最小値に関する問題を解説します。

区間に文字が含まれているため，文字の値によって，区間自体が変化するため，最大値や最小値をとる $x$ の値が変化します。

極値や区間の端点のいずれかで，最大・最小となるため，それらの位置関係に注意して場合分けをすると良いでしょう。

具体的な方法については，問題を解いて習得しましょう。

2021年高知大

2021年高知大実数 $x$ に対して，$f(x)=-\dfrac{1}{4}x^3+3x$ とおく。このとき，次の問いに答えよ。
(1) $y=f(x)$ のグラフをかけ。
(2) $f(x-2)=f(x)$ をみたす実数 $x$ をすべて求めよ。
(3) 実数 $s$ に対して，$f(x)$ の $x\leqq s$ の範囲における最小値を $g(s)$ とおく。このとき，$t=g(s)$ のグラフをかけ。
(4) 実数 $s$ に対して，$f(x)$ の $s-2\leqq x\leqq s$ の範囲における最小値を $h(s)$ とおく。このとき，$t=h(s)$ のグラフをかけ。

【(1)の解答と考え方】
$f(x)=-\dfrac{1}{4}x^3+3x$ のとき

\begin{align*}
f'(x)&=-\dfrac{3}{4}x^2+3 \\[4pt]&=-\dfrac{3}{4}(x^2-4) \\[4pt]&=-\dfrac{3}{4}(x-2)(x+2)
\end{align*}

$f'(x)=0$ を解くと，$x=\pm2$
よって，$f(x)$ の増減は次のようになる。

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline
f'(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline
f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}

したがって，$y=f(x)$ のグラフは次のようになる。

(2) $f(x-2)=f(x)$ をみたす実数 $x$ をすべて求めよ。

【(2)の解答と考え方】
$f(x-2)=f(x)$ より

\begin{align*}
&-\dfrac{1}{4}(x-2)^3+3(x-2)=-\dfrac{1}{4}x^3+3x \\[4pt]&x^3-(x-2)^3-24=0 \\[4pt]&6x^2-12x-16=0 \\[4pt]&3x^2-6x-8=0 \\[4pt]&x=\dfrac{3\pm\sqrt{33}}{3}
\end{align*}

(3) 実数 $s$ に対して，$f(x)$ の $x\leqq s$ の範囲における最小値を $g(s)$ とおく。このとき，$t=g(s)$ のグラフをかけ。

【(3)の解答と考え方】
$f(x)=f(-2)$ となる $x$ の値を求める。3次関数のグラフの等間隔性を考えると，$x=4$ であることがすぐに分かるが，計算も書いておく。

\begin{align*}
&-\dfrac{1}{4}x^3+3x=-4 \\[4pt]&x^3-12x-16=0
\end{align*}

$f(x)=f(-2)$ の実数解は，$y=f(x)$ のグラフと $y=-2$ のグラフの共有点の $x$ 座標に等しいから，$x=-2$ を重解にもつことが分かるだろう。このことから，$x^3-12x-16$ は $(x+2)^2$ を因数にもつことが分かる。定数項に着目することで簡単に因数分解できる。

\begin{align*}
&(x+2)^2(x-4)=0 \\[4pt]&x=-2,~4
\end{align*}

次のグラフを利用して最小値を求めよう。