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三角関数の加法定理に関する入試問題【東京大・長岡技術科学大】

三角関数の加法定理と2倍角の公式・半角の公式数学IAIIB
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三角関数の基本とも言える加法定理と2倍角の公式と半角の公式の導出について説明します。1999年の東京大学では「三角関数の基本は大丈夫ですか?」と正弦・余弦の定義と加法定理を証明できるかどうかを確認する問題が出題されています。

ということで,三角関数の基本である加法定理を確認しておきましょう。

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1999年 東京大

1999年 東京大(1) 一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta,~\cos\theta$ の定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義にもとづき,一般角 $\alpha,~\beta$ に対して
\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\[4pt]
&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta
\end{align*}
を証明せよ。
ヒロ
ヒロ

まずは,$\sin\theta,~\cos\theta$ の定義をしっかり覚えておこう。

【(1)の解答】
Oを原点とする座標平面において,点 $\mathrm{A}(1,~0)$ をとる。$\Vec{OA}$ を原点のまわりに $\theta$ だけ回転したベクトルを $\Vec{OP}$ とし,点Pの座標を $(x,~y)$ とする。このとき
\begin{align*}
\sin\theta=y,~\cos\theta=x
\end{align*}
と定義する。
ヒロ
ヒロ

(2)の加法定理はベクトルを利用して証明しよう。

【(2)の解答】
$\Vec{OA}=(\cos\alpha,~\sin\alpha)$ とし,$\Vec{OA}$ を原点のまわりに $\beta$ だけ回転したベクトルを $\Vec{OB}$ とすると,(1)の定義から
\begin{align*}
\Vec{OB}=(\cos(\alpha+\beta),~\sin(\alpha+\beta))~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。
1999年 東京大 三角関数 加法定理
ここで,$\Vec{OA}$ を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転したベクトルを $\Vec{OC}$ とすると
\begin{align*}
\Vec{OC}=(-\sin\alpha,~\cos\alpha)
\end{align*}
となり,点Bから直線OC,OAに下ろした垂線の足をそれぞれD,Eとすると次のようになる。
1999年 東京大 三角関数 加法定理
このとき,(1)の定義より
\begin{align*}
&\Vec{OD}=\cos\beta\Vec{OA} \\[4pt]
&\Vec{OE}=\sin\beta\Vec{OC}
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\Vec{OB}&=\Vec{OD}+\Vec{OE} \\[4pt]
&=\cos\beta\Vec{OA}+\sin\beta\Vec{OC} \\[4pt]
&=(\cos\alpha\cos\beta,~\sin\alpha\cos\beta)+(-\sin\alpha\sin\beta,~\cos\alpha\sin\beta) \\[4pt]
&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,~\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)~\cdots\cdots②
\end{align*}
①,②より
\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\[4pt]
&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}

2004年 長岡技術科学大

2004年 長岡技術科学大次の問いに答えよ。
(1) 角 $\alpha,~\beta$ に対して2点 $(\cos\alpha,~\sin\alpha)$, $(\cos(-\beta),~\sin(-\beta))$ 間の距離を求めよ。
(2) 2点 $(1,~0)$, $(\cos(\alpha+\beta),~\sin(\alpha+\beta))$ 間の距離を求めよ。
(3) 前問(1), (2)で求めた距離が等しいことに注意して,三角関数 $\cos\theta$ についての加法定理を示せ。

(1)は三平方の定理を理解していれば,簡単ですね。

【(1)の解答】
求める距離は
\begin{align*}
&\sqrt{(\cos\alpha-\cos(-\beta))^2+(\sin\alpha-\sin(-\beta))^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}
\end{align*}

(2)も(1)と同じように計算するだけですね。

【(2)の解答】
求める距離は
\begin{align*}
&\sqrt{(\cos(\alpha+\beta)-1)^2+\sin^2(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+1} \\[4pt]
&=\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}
\end{align*}

(3)は(1)と(2)の結果を利用して,加法定理を証明するだけですね。

【(3)の解答】
(1)と(2)の結果より
\begin{align*}
&\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}=\sqrt{2-2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)} \\[4pt]
&\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}

2009年 岩手大

2009年 岩手大次の問いに答えよ。
(1) 正弦と余弦の加法定理を用いて
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
を示せ。
(2) 直角三角形ではない三角形の内角の大きさを,それぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき
\begin{align*}
\dfrac{1}{\tan\alpha\Cdot\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\beta\Cdot\tan\gamma}+\dfrac{1}{\tan\gamma\Cdot\tan\alpha}
\end{align*}
の値は,$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ によらずに一定であることを示し,その値を求めよ。
(3) $\tan\alpha=\dfrac{5}{2}$ のとき,$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)$ の値を求めよ。

(1)は教科書の内容をしっかり理解してる人なら余裕ですね!

【(1)の解答】
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}-\sin\alpha\sin\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}} \\[4pt]
&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

正弦と余弦の加法定理を利用したあと,赤字部分の $\cos\alpha\cos\beta$ で分母分子を割るのがポイントだね。

ヒロ
ヒロ

(2)は与えられた式を計算していくと,何らかの定数になると言われているので,それを信じて計算を進めよう。

三角形の内角の和が $\pi$ であることを利用すると,1文字消去できるので,$\gamma$ を消去してみます。

【(2)の解答】
三角形の内角の和は $\pi$ であるから,
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\tan(\pi-\gamma) \\[4pt]
&=-\tan\gamma
\end{align*}
よって,(1)の結果より
\begin{align*}
&-\tan\gamma=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\gamma}=\tan\alpha\tan\beta-1
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha\tan\beta-1}{\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&=1
\end{align*}

(3)は $\tan2\alpha$ を求めてから,加法定理を利用すれば良さそうです。

【(3)の解答】
$\tan\alpha=\dfrac{2}{5}$ のとき
\begin{align*}
\tan2\alpha&=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{2\Cdot\dfrac{2}{5}}{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{20}{21}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)&=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan2\alpha}{1+\tan\dfrac{\pi}{4}\tan2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\dfrac{20}{21}}{1+\dfrac{20}{21}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{41}
\end{align*}

2倍角の公式の導出

ヒロ
ヒロ

加法定理の導出をしたついでに,2倍角の公式も導出しておこう。

正弦の加法定理
\begin{align*}
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}
において,$\alpha=\beta=\theta$ とすると
\begin{align*}
&\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta \\[4pt]
&\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{align*}
また,余弦の加法定理
\begin{align*}
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta
\end{align*}
においても同様にすると
\begin{align*}
&\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta \\[4pt]
&\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta
\end{align*}
ここで,$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ であることから
\begin{align*}
&\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 \\[4pt]
&\cos2\theta=1-2\sin^2\theta
\end{align*}
となる。最後に,正接の加法定理
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
において,同様にすると
\begin{align*}
&\tan(\theta+\theta)=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} \\[4pt]
&\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\end{align*}

半角の公式の導出

ヒロ
ヒロ

2倍角の公式から半角の公式も簡単に導出できるため,確認しておこう。

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より
\begin{align*}
\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}
\end{align*}
ここで $\alpha=\dfrac{\theta}{2}$ とおくと
\begin{align*}
\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}
\end{align*}
また,$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ より
\begin{align*}
\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}
\end{align*}
$\alpha=\dfrac{\theta}{2}$ とおくと
\begin{align*}
\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}
\end{align*}
正弦・余弦の半角の公式より
\begin{align*}
\tan^2\dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{\sin^2\dfrac{\theta}{2}}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}
\end{align*}

三角関数の基本公式のまとめ

ヒロ
ヒロ

三角関数の単元における基礎である加法定理をいつでも導出できるようにしておこう。

ヒロ
ヒロ

また,加法定理から2倍角の公式も簡単に導出できる。2倍角の公式からは半角の公式を導出できる。

三角関数の加法定理
  1. $\displaystyle
    \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
    $
  2. $\displaystyle
    \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta
    $
  3. $\displaystyle
    \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
    $
2倍角の公式
  1. $\displaystyle
    \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
    $
  2. $\displaystyle
    \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta
    $

    $\displaystyle
    \cos2\theta=2\cos^2\theta-1
    $

    $\displaystyle
    \cos2\theta=1-2\sin^2\theta
    $
  3. $\displaystyle
    \tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
    $
半角の公式
  1. $\displaystyle
    \sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}
    $
  2. $\displaystyle
    \cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}
    $
  3. $\displaystyle
    \tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}
    $
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