Contents
2009年 岩手大
2009年 岩手大次の問いに答えよ。
(1) 正弦と余弦の加法定理を用いて
(2) 直角三角形ではない三角形の内角の大きさを，それぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき
(3) $\tan\alpha=\dfrac{5}{2}$ のとき，$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)$ の値を求めよ。
(1) 正弦と余弦の加法定理を用いて
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
を示せ。\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
(2) 直角三角形ではない三角形の内角の大きさを，それぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき
\begin{align*}
\dfrac{1}{\tan\alpha\Cdot\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\beta\Cdot\tan\gamma}+\dfrac{1}{\tan\gamma\Cdot\tan\alpha}
\end{align*}
の値は，$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ によらずに一定であることを示し，その値を求めよ。\dfrac{1}{\tan\alpha\Cdot\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\beta\Cdot\tan\gamma}+\dfrac{1}{\tan\gamma\Cdot\tan\alpha}
\end{align*}
(3) $\tan\alpha=\dfrac{5}{2}$ のとき，$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)$ の値を求めよ。
(1)は教科書の内容をしっかり理解してる人なら余裕ですね！
【(1)の解答】
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}-\sin\alpha\sin\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}} \\[4pt]
&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}-\sin\alpha\sin\beta} \\[4pt]
&=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\color{red}\cos\alpha\cos\beta}} \\[4pt]
&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
ヒロ
正弦と余弦の加法定理を利用したあと，赤字部分の $\cos\alpha\cos\beta$ で分母分子を割るのがポイントだね。
ヒロ
(2)は与えられた式を計算していくと，何らかの定数になると言われているので，それを信じて計算を進めよう。
三角形の内角の和が $\pi$ であることを利用すると，1文字消去できるので，$\gamma$ を消去してみます。
【(2)の解答】
三角形の内角の和は $\pi$ であるから，
三角形の内角の和は $\pi$ であるから，
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\tan(\pi-\gamma) \\[4pt]
&=-\tan\gamma
\end{align*}
よって，(1)の結果より\tan(\alpha+\beta)&=\tan(\pi-\gamma) \\[4pt]
&=-\tan\gamma
\end{align*}
\begin{align*}
&-\tan\gamma=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\gamma}=\tan\alpha\tan\beta-1
\end{align*}
したがって&-\tan\gamma=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\gamma}=\tan\alpha\tan\beta-1
\end{align*}
\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha\tan\beta-1}{\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
(与式)&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\tan\alpha\tan\beta}+\dfrac{\tan\alpha\tan\beta-1}{\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
(3)は $\tan2\alpha$ を求めてから，加法定理を利用すれば良さそうです。
【(3)の解答】
$\tan\alpha=\dfrac{2}{5}$ のとき
$\tan\alpha=\dfrac{2}{5}$ のとき
\begin{align*}
\tan2\alpha&=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{2\Cdot\dfrac{2}{5}}{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{20}{21}
\end{align*}
よって\tan2\alpha&=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{2\Cdot\dfrac{2}{5}}{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{20}{21}
\end{align*}
\begin{align*}
\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)&=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan2\alpha}{1+\tan\dfrac{\pi}{4}\tan2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\dfrac{20}{21}}{1+\dfrac{20}{21}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{41}
\end{align*}
\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)&=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan2\alpha}{1+\tan\dfrac{\pi}{4}\tan2\alpha} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\dfrac{20}{21}}{1+\dfrac{20}{21}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{41}
\end{align*}
三角関数の基本公式のまとめ
ヒロ
三角関数の単元における基礎である加法定理をいつでも導出できるようにしておこう。
三角関数の加法定理