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【数学IA】支払うことができる金額は何通りあるか

支払い可能な金額の場合の数数学IAIIB
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ここでは,10円硬貨や50円硬貨などが複数枚ある状態で,支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題を説明します。

積の法則を用いる問題については,ほとんどの人が理解することができるでしょう。

しかし両替をしてからじゃないと正しい答えを得られない問題に対しては,何故両替する必要があるのか分からないから,問題をパターンに分けることができずに「苦手な問題」となってしまいます。

問題によって考え方が異なる理由を知ることで,支払うことができる金額の場合の数を求める問題も解けるようになるでしょう。

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硬貨が1種類なら簡単

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それではまずは簡単な問題から考えてみよう。

問題次の場合,硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 10円硬貨4枚
(2) 50円硬貨5枚
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これは簡単だろう。

【(1)の考え方と解答】
(1)は全部で40円持っている状態。
支払うことができる金額は,10円,20円,30円,40円の4通りだと分かる。
ヒロ
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10円硬貨のみしかなく,使う枚数に着目すれば,1枚から4枚までの4通りあるから,支払うことができる金額も4通りということだね。

【(2)の考え方と解答】
(2)では全部で250円持っている状態。
250円以下の金額を50円刻みですべて支払うことができるから,支払うことができる金額は5通りだと分かる。
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ここまでは何も疑問点はないはず。

50円硬貨と100円硬貨の2種類で支払うことができる金額

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少しずつ問題を複雑にしていこう。

問題次の場合,硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 50円硬貨3枚,100円硬貨2枚
(2) 50円硬貨1枚,100円硬貨3枚
ヒロ
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枚数も多くないので,書き出しても数えられるだろう。

【考え方と解答】
50円硬貨と100円硬貨だけが現れる問題はかなり簡単。
50円硬貨が1枚でもあれば,所持金の合計金額以下の金額を50円刻みで必ず払うことができることを理解しよう。
下二桁が00となっている金額を払うときは100円硬貨だけを使えば良いし,下二桁が50となっている金額を払うときは50円硬貨を奇数枚使えば良い。
(1),(2)のどちらでも所持金の合計金額が350円で,350円以下の金額を50円刻みで支払うことができるから,支払うことができる金額は全部で6通りある。
50円硬貨と100円硬貨が混在する問題では,100円硬貨を50円硬貨に両替しても良い。

10円硬貨と50円硬貨の2種類で支払うことができる金額

ヒロ
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硬貨の種類を変えるとどうなるか考えてみよう。

問題次の場合,硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 10円硬貨6枚,50円硬貨3枚
(2) 10円硬貨3枚,50円硬貨3枚
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硬貨が2種類になると,考え方にどのような違いが現れるかを理解しよう。

【(1)の考え方と解答】
全部で210円持っている状態。
210円以下の金額を10円刻みですべて支払うことができるかどうかを考えよう。
10円硬貨4枚と50円硬貨1枚で90円以下の金額を10円刻みですべて支払うことができると分かる。
50円硬貨2枚を使うことで100円も支払うことができる。
50円硬貨2枚を出した状態から10円硬貨を1枚ずつ増やしていくと,210円以下の金額を10円刻みですべて支払うことができることが分かる。つまり,支払うことができる金額は全部で21通り。
ヒロ
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ポイントは次の通り。

10円硬貨と50円硬貨が混在する問題で,10円硬貨が4枚以上あれば,50円硬貨をすべて10円硬貨に両替して考えれば良い。
100円硬貨と500円硬貨が混在する問題についても,100円硬貨が4枚以上あれば,500円硬貨をすべて100円硬貨に両替して考えれば良い。
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では,次に(2)を考えてみよう。

(2) 10円硬貨3枚,50円硬貨3枚

【(2)の考え方と解答】
全部で180円持っている状態。
(1)と同じように考えると,180円以下の金額でも支払うことができない金額があることに気付けるようにしよう。
例えば90円は支払うことができない金額である。それは10円硬貨が4枚必要だから。
このように所持金より少ない金額で支払えない金額が存在すると,所持金の合計金額を計算することでは,支払うことができる金額の場合の数を求めることができなくなる。
このようなときは,それぞれの硬貨の使う枚数に着目しよう。
10円硬貨と50円硬貨のそれぞれの使う枚数を決めると,支払う金額が1つに決まり,重複は起こらない。
つまり,使用する硬貨の枚数が何通りあるかを調べれば良い。
10円硬貨を使う枚数は0枚のときを含めて4通りの使い方がある。そのそれぞれの使い方に対して,50円硬貨の使う枚数も4通りある。よって,使用する硬貨の枚数の場合の数は
\begin{align*}
4\times4=16~通り
\end{align*}
となる。しかし,この中には10円硬貨も50円硬貨も使用しない場合が1通り含まれている。
したがって,その1通りを除いて,支払うことができる金額は全部で15通りとなる。
ヒロ
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実際に支払うことができる金額を書き出すと次のようになる。

【確認】
横に10円硬貨を使う枚数,縦に50円硬貨を使う枚数としたときの支払う金額を表にすると次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
& 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
0 & 0 & 10 & 20 & 30 \\\hline
1 & 50 & 60 & 70 & 80 \\\hline
2 & 100 & 110 & 120 & 130 \\\hline
3 & 150 & 160 & 170 & 180 \\\hline
\end{array}\end{align*}
全部で16マスあるが,0円は支払っていないので除くと15マス。15マスに書かれた数字はすべて異なっている。
10円硬貨と50円硬貨が混在する問題で,10円硬貨が3枚以下のときは,50円硬貨を10円硬貨に両替してはいけない。

10円硬貨と100円硬貨の2種類で支払うことができる金額

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今度は10円硬貨と100円硬貨の2種類で考えてみよう。

問題次の場合,硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 10円硬貨9枚,100円硬貨2枚
(2) 10円硬貨3枚,100円硬貨2枚
ヒロ
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段々慣れてきた頃だろう。

【考え方と解答】
10円硬貨と100円硬貨が混在する問題では,10円硬貨が9枚以上あれば,所持金以下の金額をすべて10円刻みで支払うことができる。つまり100円硬貨をすべて10円硬貨に両替して考えればよい。
(1)では10円硬貨が9枚あるので,100円硬貨2枚を10円硬貨20枚に両替して,10円硬貨が29枚あるとして考えれば良い。
したがって,支払うことができる金額は全部で29通り。
(2)では10円硬貨が9枚以上ないので,それぞれの硬貨の使う枚数に着目して考える。
10円硬貨の使う枚数は使わない場合を含めて4通りある。100円硬貨の使う枚数は使わない場合を含めて3通りある。
したがって,1枚も使わない場合を除くことを考えて
\begin{align*}
4\times3-1=11~通り
\end{align*}
ヒロ
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実際に支払うことができる金額を書き出すと次のようになる。

【確認】
横に10円硬貨を使う枚数,縦に100円硬貨を使う枚数としたときの支払う金額を表にすると次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
& 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
0 & 0 & 10 & 20 & 30 \\\hline
1 & 100 & 110 & 120 & 130 \\\hline
2 & 200 & 210 & 220 & 230 \\\hline
\end{array}\end{align*}
全部で12マスあるが,0円は支払っていないので除くと11マス。11マスに書かれた数字はすべて異なっている。
10円硬貨と100円硬貨が混在する問題で,10円硬貨が9枚以上あれば,100円硬貨をすべて10円硬貨に両替して考えれば良い。
50円硬貨と500円硬貨が混在する問題についても,50円硬貨が9枚以上あれば,500円硬貨を50円硬貨に両替して考えれば良い。

3種類の硬貨で支払うことができる金額

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それでは練習問題を解いて鍛えていこう。

問題次の場合,硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 10円硬貨4枚,50円硬貨1枚,100円硬貨3枚
(2) 10円硬貨2枚,50円硬貨3枚,100円硬貨3枚
(3) 10円硬貨7枚,50円硬貨1枚,100円硬貨3枚
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今までのことを理解していれば簡単に解けるだろう。

【(1)の考え方と解答】
50円硬貨と100円硬貨が混在するので,100円硬貨を50円硬貨に両替しよう。
「10円硬貨4枚,50円硬貨7枚」の状態になる。10円硬貨が4枚以上あるから,50円硬貨を10円硬貨に両替しよう。
「10円硬貨39枚」となる。支払うことができる金額は全部で39通り。
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では次は(2)に進もう。

【(2)の考え方と解答】
(1)で分かったと思うけど,50円硬貨と100円硬貨が混在する問題では,100円硬貨を50円硬貨に両替できるから,10円硬貨と50円硬貨の2種類になる。実際両替すると「10円硬貨2枚,50円硬貨9枚」の状態になる。
10円硬貨が4枚以上ないから,使う枚数に着目して,0円のときの1通りを除くのを考えると
\begin{align*}
3\times10-1=29~通り
\end{align*}
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悩んでたのがアホらしく感じてくれれば,この記事を書いた意味もある。

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それでは(3)を解こう。

【(3)の考え方と解答】
50円硬貨と100円硬貨が混在して,10円硬貨が4枚以上あるから,すべて10円硬貨に両替しよう。これは結局合計金額を求めるのと,ほとんど同じ。所持金の合計金額は420円だから,支払うことができる金額は全部で42通り。

様々な硬貨で支払うことができる金額

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ここまで来たら,どんな硬貨・紙幣が現れても楽に解けるだろう。

問題次の場合,硬貨・紙幣の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。
(1) 10円硬貨3枚,100円硬貨7枚,500円硬貨3枚
(2) 5円硬貨4枚,10円硬貨3枚,100円硬貨2枚
(3) 10円硬貨2枚,50円硬貨2枚,100円硬貨2枚,500円硬貨2枚,1000円札2枚,5000円札2枚,10000円札2枚
【(1)の考え方と解答】
100円硬貨と500円硬貨が混在して,100円硬貨が4枚以上あるから,500円硬貨をすべて100円硬貨に両替する。
「10円硬貨3枚,100円硬貨22枚」の状態になる。
10円硬貨が9枚以上ないから,使う枚数に着目する。1枚も使わない場合を除くことを考えて
\begin{align*}
4\times23-1=91~通り
\end{align*}
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次は5円硬貨が現れる問題。

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まさか「解いたことないから解けない」とは言うまい。

【(2)の考え方と解答】
5円硬貨と10円硬貨が混在するから,10円硬貨を5円硬貨に両替する。
「5円硬貨10枚,100円硬貨2枚」の状態になる。
使う枚数に着目して
\begin{align*}
11\times3-1=32~通り
\end{align*}
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(3)を解くことができれば「このタイプの問題はマスターした」と言えるかも?

【(3)の考え方と解答】
50円硬貨と100円硬貨が混在するから,100円硬貨を50円硬貨に両替する。また,
500円硬貨と1000円札が混在するから,1000円札を500円硬貨に両替する。
5000円札と10000円札が混在するから,10000円札を5000円札に両替する。
「10円硬貨2枚,50円硬貨6枚,500円硬貨6枚,5000円札6枚」の状態になる。
10円硬貨が4枚以上なく,50円硬貨も500円硬貨も9枚以上ないから,使う枚数に着目して
\begin{align*}
3\times7\times7\times7-1=1028~通り
\end{align*}
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ここまで全部読んで理解していれば,学校の定期テストに出されるような問題なら間違うことはないだろう。

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