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三角比を変形して考える問題2
問題次の文章において $a,~b$ の値を求めよ。
$\theta=15\Deg$ のとき，$\cos5\theta=\sin a\theta$ であり，
$\theta=15\Deg$ のとき，$\cos5\theta=\sin a\theta$ であり，
\begin{align*}
\cos^2\theta+\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta+\cos^25\theta=b
\end{align*}
である。\cos^2\theta+\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta+\cos^25\theta=b
\end{align*}
【考え方と解答】
$a$ の値は $\cos$ から $\sin$ に変わっているから「90°系」の公式を利用していることが分かる。このことを考えて $cos5\theta$ を変形しよう。
$\cos5\theta=\sin\theta$ であることから
このとき，2つ組み合わせて「2乗の和が1を使う」などと変に先を読むと「1つ余るからできない」と思い込んで手を動かさない人がいる。「できない」と思うなら別の方法を考えれば良いだけで，$\theta=15\Deg$ を代入して手を動かしてみよう。実際 $2\theta=30\Deg$, $3\theta=45\Deg$, $4\theta=60\Deg$ となり，良く知っている三角定規に現れる角度であるから，簡単に値を求めることができる。
$a$ の値は $\cos$ から $\sin$ に変わっているから「90°系」の公式を利用していることが分かる。このことを考えて $cos5\theta$ を変形しよう。
\begin{align*}
\cos5\theta&=\cos(5\times15\Deg)=\cos75\Deg \\[4pt]
&=\cos(90\Deg-15\Deg)=\sin15\Deg
\end{align*}
よって，$a=1$ である。\cos5\theta&=\cos(5\times15\Deg)=\cos75\Deg \\[4pt]
&=\cos(90\Deg-15\Deg)=\sin15\Deg
\end{align*}
$\cos5\theta=\sin\theta$ であることから
\begin{align*}
\cos^2\theta+\cos^25\theta&=\cos^2\theta+\sin^2\theta \\[4pt]
&=1
\end{align*}
であることが分かるから，残りの $\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta$ の値を求めよう。\cos^2\theta+\cos^25\theta&=\cos^2\theta+\sin^2\theta \\[4pt]
&=1
\end{align*}
このとき，2つ組み合わせて「2乗の和が1を使う」などと変に先を読むと「1つ余るからできない」と思い込んで手を動かさない人がいる。「できない」と思うなら別の方法を考えれば良いだけで，$\theta=15\Deg$ を代入して手を動かしてみよう。実際 $2\theta=30\Deg$, $3\theta=45\Deg$, $4\theta=60\Deg$ となり，良く知っている三角定規に現れる角度であるから，簡単に値を求めることができる。
\begin{align*}
&\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta \\[4pt]
&=\cos^230\Deg+\cos^245\Deg+\cos^260\Deg \\[4pt]
&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{3+2+1}{4}=\dfrac{7}{4}
\end{align*}
したがって，求める $b$ の値は次のようになる。&\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta \\[4pt]
&=\cos^230\Deg+\cos^245\Deg+\cos^260\Deg \\[4pt]
&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{3+2+1}{4}=\dfrac{7}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
b&=(\cos^2\theta+\cos^25\theta)+(\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta) \\[4pt]
&=1+\dfrac{7}{4}=\dfrac{11}{4}
\end{align*}
b&=(\cos^2\theta+\cos^25\theta)+(\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta) \\[4pt]
&=1+\dfrac{7}{4}=\dfrac{11}{4}
\end{align*}
三角比を変形して考える問題3
問題$\tan^235\Deg\sin^255\Deg+\tan^255\Deg\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\sin^255\Deg$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$35\Deg+55\Deg=90\Deg$ であるから，$90\Deg-\theta$ の公式を利用して $35\Deg$ の三角比に統一しよう。
$35\Deg+55\Deg=90\Deg$ であるから，$90\Deg-\theta$ の公式を利用して $35\Deg$ の三角比に統一しよう。
\begin{align*}
（与式）&=\tan^235\Deg\sin^2(90\Deg-35\Deg)+\tan^2(90\Deg-35\Deg)\Deg\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\sin^2(90\Deg-35\Deg) \\[4pt]&=\tan^235\Deg\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\tan^235\Deg}\Cdot\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\cos^235\Deg \\[4pt]&=\sin^235\Deg+\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\cos^235\Deg}\Cdot\cos^235\Deg \\[4pt]&=1+1=2
\end{align*}
（与式）&=\tan^235\Deg\sin^2(90\Deg-35\Deg)+\tan^2(90\Deg-35\Deg)\Deg\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\sin^2(90\Deg-35\Deg) \\[4pt]&=\tan^235\Deg\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\tan^235\Deg}\Cdot\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\cos^235\Deg \\[4pt]&=\sin^235\Deg+\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\cos^235\Deg}\Cdot\cos^235\Deg \\[4pt]&=1+1=2
\end{align*}