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2019年 センター試験 数学ⅠA 第4問 整数

2019年 センター数学ⅠA 整数数学IAIIB
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2019年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年 センターⅠA 第4問 整数(1) 不定方程式
\begin{align*}
49x-23y=1
\end{align*}
の解となる自然数 $x,~y$ の中で,$x$ の値が最小のものは
\begin{align*}
x=\myBox{ア},~y=\myBox{イウ}
\end{align*}
であり,すべての整数解は,$k$ を整数として
\begin{align*}
x=\myBox{エオ}~k+\mybox{ア},~y=\myBox{カキ}~k+\mybox{イウ}
\end{align*}
と表せる。
(2) 49の倍数である自然数 $A$ と23の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,~B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となる組 $(A,~B)$ の中で,$A$ が最小になるのは
\begin{align*}
(A,~B)=\left(49\times\myBox{ク},~23\times\myBox{ケコ}\right)
\end{align*}
である。また,$A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組 $(A,~B)$ の中で,$A$ が最小になるのは
\begin{align*}
(A,~B)=\left(49\times\myBox{サ},~23\times\myBox{シス}\right)
\end{align*}
である。
(3) 連続する三つの自然数 $a,~a+1,~a+2$ を考える。
  $a$ と $a+1$ の最大公約数は1
  $a+1$ と $a+2$ の最大公約数は1
  $a$ と $a+2$ の最大公約数は1または $\myBox{セ}$
である。
 また,次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち,最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。
  条件:$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
\begin{align*}
6762=2\times\myBox{タ}\times7^{~\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ}
\end{align*}
である。
 $b$ を,$b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^{~\mybox{チ}}$ の倍数であり,また,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって,$b=\myBox{トナニ}$ である。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

まずは方程式の解を1つ見つけよう。

ヒロ
ヒロ

ユークリッドの互除法を利用するのが基本的な解法だね。

ユークリッドの互除法2つの自然数 $a,~b$ の最大公約数を $g(a,~b)$ と表すことにする。$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$,余りを $r$ とすると
\begin{align*}
g(a,~b)=g(b,~r)
\end{align*}
が成り立つ。
【ア~キの解答】
\begin{align*}
&49=23\times2+3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&23=3\times7+2~\cdots\cdots② \\[4pt]
&3=2\times1+1~\cdots\cdots③
\end{align*}
①~③を逆に順番に使うと
\begin{align*}
1&=3-2 \\[4pt]
&=3-(23-3\times7) \\[4pt]
&=3\times8-23 \\[4pt]
&=(49-23\times2)\times8-23 \\[4pt]
&=49\times8-23\times17
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&49x-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota8-23\Cdota17=1
\end{align*}
の2式の差をとると
\begin{align*}
&49(x-8)-23(y-17)=0
\end{align*}
49と23は互いに素であるから,$x-8$ が23の倍数で,$y-17$ が49の倍数である。したがって,$k$ を整数として
\begin{align*}
&x-8=23k,~y-17=49k \\[4pt]
&x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
と表せる。
よって,自然数 $x,~y$ の中で,$x$ の値が最小のものは
\begin{align*}
x=8,~y=17
\end{align*}
であり,すべての整数解は,$k$ を整数として
\begin{align*}
x=23k+8,~y=49k+17
\end{align*}
と表せる。

(2)の解答

(2) 49の倍数である自然数 $A$ と23の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,~B)$ を考える。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となる組 $(A,~B)$ の中で,$A$ が最小になるのは

\begin{align*} (A,~B)=\left(49\times\myBox{ク},~23\times\myBox{ケコ}\right) \end{align*}
である。また,$A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組 $(A,~B)$ の中で,$A$ が最小になるのは
\begin{align*} (A,~B)=\left(49\times\myBox{サ},~23\times\myBox{シス}\right) \end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

問題文を読めば,(1)の不定方程式を利用するんだなと分かる。

【ク~コの解答】
$A$ が49の倍数で,$B$ が23の倍数のとき,$x,~y$ を自然数として
\begin{align*}
A=49x,~B=23y
\end{align*}
と表せる。いま $x$ が最小になるとき,$A$ も最小になる。$A$ と $B$ の差の絶対値が1となるとき
\begin{align*}
\abs{49x-23y}=1
\end{align*}
となる。$49x-23y=1$ を満たす $x,~y$ のうち,$x$ が最小のものは(1)より $x=8,~y=17$ であることが分かっているから
\begin{align*}
A=49\times8,~B=23\times17
\end{align*}
次に $49x-23y=-1$ を満たす $x,~y$ を調べる。$49\Cdot(-x)-23\Cdot(-y)=1$ と変形すると,特殊解が $-x=8,~-y=17$,すなわち $x=-8,~y=-17$ となることが分かる。したがって,$49x-23y=-1$ のすべての整数解は
\begin{align*}
x=23k-8,~y=49k-17
\end{align*}
以上より,求める $A,~B$ の値は
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $A$ と $B$ の差の絶対値が2となる組の中で $A$ が最小になるものを求める問題。

【サ~スの解答】
$\abs{49x-23y}=2$ を満たす自然数 $x,~y$ を考える。文字を変えて,$49a-23b=1$ を考えて両辺に2をかけると
\begin{align*}
49\Cdota2a-23\Cdota2b=2
\end{align*}
となるから,$2a=x,~2b=y$ とおけば $49x-23y=2$ を満たす。特殊解は $x=16,~y=34$ であるから,$49x-23y=2$ のすべての整数解は $k$ を整数として
\begin{align*}
x=23k+16,~y=49k+34
\end{align*}
となる。この場合,$A$ が最小になるのは $k=0$ のときだから,$A,~B$ の組は
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times16,~23\times34)
\end{align*}
となる。次に $49a-23b=-1$ を考える。両辺に2をかけると
\begin{align*}
49\Cdota2a-23\Cdota2b=-2
\end{align*}
となるから,$2a=x,~2b=y$ とおけば $49x-23y=-2$ を満たす。特殊解は $x=-16,~y=-34$ であるから,$49x-23y=-2$ のすべての整数解は $k$ を整数として
\begin{align*}
x=23k-16,~y=49k-34
\end{align*}
となる。この場合,$A$ が最小になるのは $k=1$ のときだから,$A,~B$ の組は
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
となる。したがって,求める $A,~B$ の組は
\begin{align*}
&(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

比較的丁寧に解答を書いたため,解答が長くなっているが,まずはしっかりと理解することが重要。

(3)の解答

(3) 連続する三つの自然数 $a,~a+1,~a+2$ を考える。 $a$ と $a+1$ の最大公約数は1 $a+1$ と $a+2$ の最大公約数は1 $a$ と $a+2$ の最大公約数は1または $\myBox{セ}$ である。  また,次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち,最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。 条件:$a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。

ヒロ
ヒロ

(3)の最初は最大公約数を求める問題。

【セの解答】
丁寧に解くと,$(a+2)\div a$ を計算して
\begin{align*}
a+2=a\Cdota1+2
\end{align*}
であるから,ユークリッドの互除法より
\begin{align*}
g(a,~a+2)=g(a,~2)
\end{align*}
$a$ と2の最大公約数は1または2であるから,$a$ と $a+2$ の最大公約数も1または2である。
ヒロ
ヒロ

次は3連続整数はどんな数の倍数かを求める問題。

ヒロ
ヒロ

「すべての自然数 $a$ で成り立つ」とあるから,$a$ に具体的な値を代入して必要条件を求めよう。また,次のポイントを知っておくと良い。

連続 $n$ 整数の積は $n!$ で割り切れる。
ヒロ
ヒロ

このことを知っていると,$a(a+1)(a+2)$ は連続3整数の積だから,6で割り切れることが一瞬で分かる。

ヒロ
ヒロ

ただ,連続2整数の積も含むため,2でも割り切れるし,3でも割り切れる。その部分について,細かく考える必要がある。

【ソの解答】
$a=1$ のとき,$a(a+1)(a+2)=6$ であり,これは2,3,6の倍数である。よって,$m$ は6以下である。
また,$a,~a+1,~a+2$ のうち,少なくとも1つは2で割り切れ,少なくとも1つは3で割り切れるから,$a(a+1)(a+2)$ は6で割り切れる,すなわち,6の倍数である。
したがって,求める最大の $m$ は $m=6$ である。

(4)の解答

(4) 6762を素因数分解すると

\begin{align*} 6762=2\times\myBox{タ}\times7^{~\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ} \end{align*}
である。  $b$ を,$b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^{~\mybox{チ}}$ の倍数であり,また,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって,$b=\myBox{トナニ}$ である。

ヒロ
ヒロ

4桁の数を素因数分解する問題。

【タ~テの解答】
$6+7+6+2=21$ より,6762は3の倍数であることが分かる。6762を42で割ると
\begin{align*}
6762=42\times161
\end{align*}
161を7で割ると
\begin{align*}
161=7\times23
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
6762=2\times3\times7^2\times23
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

センター試験の性質上 $\myBox{チ}$ に1は入らず,2以上であることが確定するから,6762を294で割っても良い。

ヒロ
ヒロ

最後の $b$ の値を求めよう。

【ト~ニの解答】
$b$ は $b(b+1)(b+2)$ が6762の倍数となる最小の自然数であるから,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは $7^2$ であり,$b,~b+1,~b+2$ のいずれかは23の倍数である。ここで(2)の結果が関係することに気付けるようにしよう。$b,~b+1,~b+2$ のうち,49の倍数であるものを $A$ とし,23の倍数であるものを $B$ とすると,$\abs{A-B}$ は0, 1, 2のいずれかの値をとる。
(i) $\abs{A-B}=0$ のとき,$A=B$ であるから,$b$ が最小になるのは $b+2=49\times23$ となるときで,このとき $b=1125$ となる。
(ii) $\abs{A-B}=1$ のとき,(2)の結果より,最小の $A$ は
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times8,~23\times17)
\end{align*}
である。よって $b$ が最小になるのは $b+2=49\times8$ となるときで,このとき $b=390$ となる。
(iii) $\abs{A-B}=2$ のとき,(2)の結果より,最小の $A$ は
\begin{align*}
(A,~B)=(49\times7,~23\times15)
\end{align*}
である。よって $b$ が最小になるのは $b+2=49\times7$ となるときで,このとき $b=343$ となる。
以上より,求める $b$ の最小値は $b=343$ である。

(1)の別解

ヒロ
ヒロ

特殊解を求める方法としては,合同式を用いる方法もある。

【ア~ウの別解】
\begin{align*}
&49x-23y\equiv1\pmod{23} \\[4pt]
&49x\equiv1\pmod{23}
\end{align*}
また
\begin{align*}
49\equiv3\pmod{23}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
49x\equiv3x\pmod{23}
\end{align*}
よって,$3x\equiv1\pmod{23}$ となり,$x=23k+8$ と表せることが分かる。
このとき
\begin{align*}
&49(23k+8)-23y=1 \\[4pt]
&49\Cdota23k-23y+391=0 \\[4pt]
&23k-y+17=0 \\[4pt]
&y=23k+17
\end{align*}

2019年 センター数学ⅠA 整数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

全体としては,暗算が得意な人が有利になるような問題。

ヒロ
ヒロ

(1)はよくある不定方程式の問題で楽だろう。しかし,(2)になると少し面倒になる。

ヒロ
ヒロ

(3)と(4)の最後意外は簡単であるが,最後が面倒なので,苦手な人は最後の $\myBox{トナニ}$ は捨てても良いかもしれない。

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