休校だからこそ重要な自宅学習

【数学IA】「グラグラするとかしないとか」の利用

「グラグラするとかしないとか」の利用数学IAIIB
スポンサーリンク

ここでは三角比の変形を利用した問題について解説します。

90°±θや180°-θの三角比の変形を利用することで,どのような三角比も45°以下の角の三角比で表すことができるようになります。

この記事を読むことで,どの公式を利用するかの判断が簡単にできるようになります。

「グラグラするとかしないとか」を知らない人は次の記事から知識を手に入れましょう。

得意な問題をどんどん増やしていきましょう。

スポンサーリンク

45°以下の角の三角比で表す方法

ヒロ
ヒロ

三角比の変形の公式を利用することで,鈍角の三角比を鋭角で表したり,さらに単に鋭角ということでなく,45°以下の三角比で表すことができる。

【利用する公式の見分け方】
「$90\Deg\pm\theta$ や $180\Deg-\theta$ の公式を利用しよう」と言われても,どの公式を利用すれば良いかがすぐに判断できない人もいるだろう。利用する公式に迷うことがなくなるように,意識するべきポイントを知っておこう。45°以下の角の三角比で表すためには,扱っている角度に最も近い座標軸がどこなのかをすぐに判断できるようにするべきである。そのためには視覚的に判断するのが良いだろう。
0°~180°を45°刻みで分割すると,次の図のように,ピンク・青・緑・赤の4つの部分に分けられる。
90°-θ,90°+θ,180°-θの公式を使い分ける方法
扱っている角がピンクの部分にあるときは,最初から45°以下であるから変形する必要がない。青の部分にあるときは, $y$ 軸が最も近い座標軸であるから,$90\Deg-\theta$ の公式を利用しよう。緑の部分にあるときは,$90\Deg+\theta$ の公式を利用しよう。最後に,赤の部分にあるときは,$x$ 軸が最も近い座標軸であるから,$180\Deg-\theta$ の公式を利用しよう。
90°-θ,90°+θ,180°-θの公式を使い分ける方法

45°以下の三角比で表すことに関連する問題

問題次の式の値を求めよ。
(1) $\cos70\Deg\sin20\Deg+\cos20\Deg\sin70\Deg$
(2) $\sin75\Deg+\sin120\Deg-\cos150\Deg+\cos165\Deg$
【(1)の考え方と解答】
$\cos70\Deg$ の値は分からないなぁと思って次を見ると,現れる三角比の値のすべてが分からないことに気付く。このような場合は45°以下の角の三角比に変形してみよう。つまり,$\cos70\Deg$ と $\sin70\Deg$ を $90\Deg-\theta$ の公式を利用して変形することになる。
\begin{align*}
(与式)&=\cos(90\Deg-70\Deg)\sin20\Deg+\cos20\Deg\sin(90\Deg-20\Deg) \\[4pt]
&=\sin^220\Deg+\cos^220\Deg \\[4pt]
&=1
\end{align*}

(2) $\sin75\Deg+\sin120\Deg-\cos150\Deg+\cos165\Deg$

【(2)の考え方と解答】
この問題では $\sin120\Deg=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos150\Deg=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることは分かるが,$\sin75\Deg$ と $\cos165\Deg$ の値を求めるのには少し苦労する。これもとりあえず,45°以下の角の三角比で表してみよう。角の位置によって,利用する公式を使えるようにしよう。
\begin{align*}
(与式)&=\sin(90\Deg-15\Deg)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos(180\Deg-15\Deg) \\[4pt]
&=\cos15\Deg-\cos15\Deg \\[4pt]
&=0
\end{align*}

三角比を変形して考える問題

問題次の値を小さい順に並べよ。
 ア:$\cos10\Deg$ イ:$\cos40\Deg$ ウ:$\sin40\Deg$ エ:$\sin110\Deg$
【考え方と解答】
三角比の値の大小関係を調べる問題で,三角比の値が分からない場合は,$\cos$ に統一するのが良い。$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のときは,$\cos$ は単位円周上の $x$ 座標を見ることで,値が分からなくても大小関係が分かる。一方 $\sin$ は単位円周上の $y$ 座標を見ることで,大小関係を考えなければならず,鋭角と鈍角が混在すると大小関係が分からないこともある。
ウを $\cos$ で表す。
\begin{align*}
ウ:\sin40\Deg&=\sin(90\Deg-50\Deg) \\[4pt]
&=\cos50\Deg
\end{align*}
エも $\cos$ で表す。
\begin{align*}
エ:\sin110\Deg&=\sin(90\Deg+20\Deg) \\[4pt]
&=\cos20\Deg
\end{align*}
ア~エの角度を見て,単位円周上に点をとると次のようになる。
cosで統一して大小関係を判断する
見るべきものは各点の $x$ 座標である。よって,答えはウイエアとなる。

三角比を変形して考える問題2

問題次の文章において $a,~b$ の値を求めよ。
$\theta=15\Deg$ のとき,$\cos5\theta=\sin a\theta$ であり,
\begin{align*}
\cos^2\theta+\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta+\cos^25\theta=b
\end{align*}
である。
【考え方と解答】
$a$ の値は $\cos$ から $\sin$ に変わっているから「90°系」の公式を利用していることが分かる。このことを考えて $cos5\theta$ を変形しよう。
\begin{align*}
\cos5\theta&=\cos(5\times15\Deg)=\cos75\Deg \\[4pt]
&=\cos(90\Deg-15\Deg)=\sin15\Deg
\end{align*}
よって,$a=1$ である。
$\cos5\theta=\sin\theta$ であることから
\begin{align*}
\cos^2\theta+\cos^25\theta&=\cos^2\theta+\sin^2\theta \\[4pt]
&=1
\end{align*}
であることが分かるから,残りの $\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta$ の値を求めよう。
このとき,2つ組み合わせて「2乗の和が1を使う」などと変に先を読むと「1つ余るからできない」と思い込んで手を動かさない人がいる。「できない」と思うなら別の方法を考えれば良いだけで,$\theta=15\Deg$ を代入して手を動かしてみよう。実際 $2\theta=30\Deg$, $3\theta=45\Deg$, $4\theta=60\Deg$ となり,良く知っている三角定規に現れる角度であるから,簡単に値を求めることができる。
\begin{align*}
&\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta \\[4pt]
&=\cos^230\Deg+\cos^245\Deg+\cos^260\Deg \\[4pt]
&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{3+2+1}{4}=\dfrac{7}{4}
\end{align*}
したがって,求める $b$ の値は次のようになる。
\begin{align*}
b&=(\cos^2\theta+\cos^25\theta)+(\cos^22\theta+\cos^23\theta+\cos^24\theta) \\[4pt]
&=1+\dfrac{7}{4}=\dfrac{11}{4}
\end{align*}

三角比を変形して考える問題3

問題$\tan^235\Deg\sin^255\Deg+\tan^255\Deg\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\sin^255\Deg$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$35\Deg+55\Deg=90\Deg$ であるから,$90\Deg-\theta$ の公式を利用して $35\Deg$ の三角比に統一しよう。
\begin{align*}
(与式)&=\tan^235\Deg\sin^2(90\Deg-35\Deg)+\tan^2(90\Deg-35\Deg)\Deg\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\sin^2(90\Deg-35\Deg) \\[4pt]&=\tan^235\Deg\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\tan^235\Deg}\Cdot\sin^235\Deg+(1+\tan^235\Deg)\cos^235\Deg \\[4pt]&=\sin^235\Deg+\cos^235\Deg+\dfrac{1}{\cos^235\Deg}\Cdot\cos^235\Deg \\[4pt]&=1+1=2
\end{align*}
タイトルとURLをコピーしました