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【数学IA】「グラグラするとかしないとか」の利用

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45°以下の三角比で表すことに関連する問題

問題次の式の値を求めよ。
(1) $\cos70\Deg\sin20\Deg+\cos20\Deg\sin70\Deg$
(2) $\sin75\Deg+\sin120\Deg-\cos150\Deg+\cos165\Deg$
【(1)の考え方と解答】
$\cos70\Deg$ の値は分からないなぁと思って次を見ると,現れる三角比の値のすべてが分からないことに気付く。このような場合は45°以下の角の三角比に変形してみよう。つまり,$\cos70\Deg$ と $\sin70\Deg$ を $90\Deg-\theta$ の公式を利用して変形することになる。
\begin{align*}
(与式)&=\cos(90\Deg-70\Deg)\sin20\Deg+\cos20\Deg\sin(90\Deg-20\Deg) \\[4pt]
&=\sin^220\Deg+\cos^220\Deg \\[4pt]
&=1
\end{align*}

(2) $\sin75\Deg+\sin120\Deg-\cos150\Deg+\cos165\Deg$

【(2)の考え方と解答】
この問題では $\sin120\Deg=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos150\Deg=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることは分かるが,$\sin75\Deg$ と $\cos165\Deg$ の値を求めるのには少し苦労する。これもとりあえず,45°以下の角の三角比で表してみよう。角の位置によって,利用する公式を使えるようにしよう。
\begin{align*}
(与式)&=\sin(90\Deg-15\Deg)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos(180\Deg-15\Deg) \\[4pt]
&=\cos15\Deg-\cos15\Deg \\[4pt]
&=0
\end{align*}

三角比を変形して考える問題

問題次の値を小さい順に並べよ。
 ア:$\cos10\Deg$ イ:$\cos40\Deg$ ウ:$\sin40\Deg$ エ:$\sin110\Deg$
【考え方と解答】
三角比の値の大小関係を調べる問題で,三角比の値が分からない場合は,$\cos$ に統一するのが良い。$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のときは,$\cos$ は単位円周上の $x$ 座標を見ることで,値が分からなくても大小関係が分かる。一方 $\sin$ は単位円周上の $y$ 座標を見ることで,大小関係を考えなければならず,鋭角と鈍角が混在すると大小関係が分からないこともある。
ウを $\cos$ で表す。
\begin{align*}
ウ:\sin40\Deg&=\sin(90\Deg-50\Deg) \\[4pt]&=\cos50\Deg
\end{align*}
エも $\cos$ で表す。
\begin{align*}
エ:\sin110\Deg&=\sin(90\Deg+20\Deg) \\[4pt]&=\cos20\Deg
\end{align*}
ア~エの角度を見て,単位円周上に点をとると次のようになる。
cosで統一して大小関係を判断する
見るべきものは各点の $x$ 座標である。よって,答えはウイエアとなる。

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