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【数学ⅡB】三角関数と方程式【岐阜薬科大・自治医科大・一橋大】

三角関数と方程式数学IAIIB
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ここでは,三角関数を含む方程式の問題を説明します。

三角関数の公式を色々知ることで,解法の選択肢が増えます。

その結果,初めて見る問題に対して1つの方法でうまくいかなかったとしても,別の方法を試すことができます。

1つの問題に対して,複数の解法が考えられるときは,すべての解法で解いてみることも良い練習になるでしょう。

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2019年 岐阜薬科大

2019年 岐阜薬科大方程式 $\sin3\theta=\cos2\theta$ を満たす $\theta$ の正の最小値を求めよ。

【解法のアプローチ】
サイン・コサインを含む方程式では,次の解法を考えることになる。

  • 角を揃える
  • サインかコサインのどちらかに統一する
  • 「$(積の形)=0$」に変形する

 最初の「角を揃える」考え方の場合,2倍角の公式や3倍角の公式を利用することになるから,結果として次数は上がる。また,この問題ではサインに統一することができて $\sin\theta$ の3次方程式になる。この後,1つの問題が生じることを考えておかなければならない。つまり,仮に3次方程式を解くことができて,$\sin\theta$ を求められたとしても,有名角のサインの値でなければ $\theta$ を求めることはできないということである。
 求めるものは $\sin\theta$ ではなく,$\theta$ であるから,初めの式から「$\sin A=\sin B$」や「$\cos A=\cos B$」の形に変形した方が $\theta$ を求めやすいだろう。

ヒロ
ヒロ

ということで,「グラグラするとかしないとか」を利用してコサインをサインに変形して解くことにする。

【考え方と解答】
$\cos2\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)$ であるから,与えられた方程式より
\begin{align*}
&\sin3\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)
\end{align*}
よって,$n$ を整数とすると
\begin{align*}
&3\theta=\dfrac{\pi}{2}-2\theta+2n\pi,~\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)+2n\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}n\pi,~\dfrac{\pi}{2}+2n\pi
\end{align*}
したがって,求める $\theta$ の正の最小値は $\theta=\dfrac{\pi}{10}$

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