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【数学IA】n進数から10進数への変換【大阪工業大・久留米大】

n進数から10進数への変換数学IAIIB
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ここではn進数の整数を10進数に変換する方法を説明します。

私たちが普段使っている数は10進数ですが,これは人間の指が両手合わせて10本あるからと言われています。

一方でコンピュータ内では2進数が使われていたり,時刻では12進法や24進法,60進法が使われています。

大学入試においても,$n$ 進数を10進数に変換する問題が出題されているため,解けるようにしておこう。

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$n$ 進数とは

ヒロ
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$n$ 進数の説明をする前に,10進数の復習をしておこう。

【10進数とは】
 0から9の10個の数字を用いて表す。9の次の数は,位を1つずらして10と表す。ここで重要なのは「位」の考え方だろう。0から9の数を知っていても,もし「位」の考え方を知らない場合は,45を見たときには「よんじゅうご」とは読めず,4と5がくっついて並んでいるだけで意味が分からないということになるだろう。
 つまり,10進数では,右から順に1の位,10の位,$10^2$ の位・・・となっている。
ヒロ
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10進数を理解できれば,同様に $n$ 進数を理解することもできる。

【$n$ 進数とは】
 0から $n$ の $n+1$ 個の数字を用いて表す。ここで $n$ は2以上10以下の整数としておく。右から順に1の位,$n$ の位,$n^2$ の位・・・となっている。小数で表したときは,小数第1位が $\dfrac{1}{n}$ の位,小数第2位が $\dfrac{1}{n^2}$ の位・・・となっている。
 また10進数なのか $n$ 進数なのかをはっきり区別するために,右下に括弧付きの数字を用いて表す。例えば,1011は10進数では「せんじゅういち」を表すが,これを2進数として読んでもらいたいときは $1011_{(2)}$ と書く。他の3進数でも5進数でも,右下の数字を3や5に変えることで正しく伝わる。

2進数から10進数への変換

ヒロ
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それでは次に2進数から10進数への変換方法を説明する。

【2進数から10進数への変換方法】
 例えば $1011_{(2)}$ の場合は,右から1の位,2の位,$2^2$ の位,$2^3$ の位を表しているから
\begin{align*}
1011_{(2)}&=2^3\times1+2^2\times0+2\times1+1\times1 \\[4pt]
&=8+2+1=11
\end{align*}
となり,10進数では11(じゅういち)を表すことが分かる。
ヒロ
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3進数や5進数から10進数への変換も同様に考えることで,簡単に変換できるようになるだろう。

8進数から10進数への変換の問題

2020年 奈良大8進数 $101_{(8)}$ および $777_{(8)}$ を10進数で表せ。
【考え方と解答】
8進数は右から1の位,8の位,$8^2$ の位を表しているから
\begin{align*}
101_{(8)}&=8^2+1 \\[4pt]&=65
\end{align*}
同じようにして
\begin{align*}
777_{(8)}&=8^2\times7+8\times7+7 \\[4pt]&=448+56+7 \\[4pt]&=511
\end{align*}

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