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【数学ⅡB】指数方程式【青山学院大・神奈川大・学習院大】

指数方程式数学IAIIB
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ここでは,指数方程式について説明します。

大学入試で出題される指数方程式には,さまざまな形式があります。

指数法則を正しく活用して式変形をしましょう。

また,2次方程式に帰着させる問題もあるため,因数分解や解と係数の関係についての知識が必要になるときもあります。

問題を見たときに,どのタイプの方程式であるかを判断できるように練習しましょう。

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2019年 青山学院大

2019年 青山学院大$a,~b$ が $2^{a+b}=4$,$3^{3ab}=\dfrac{1}{9}$,$a\geqq b$ を同時に満たすとき,$a=\dfrac{\myhako+\sqrt{\myhako}}{\myhako}$ である。
【考え方と解答】
与えられた条件式から,分かるものを求めていこう。
$2^{a+b}=4$ より,$a+b=2~\cdots\cdots①$
$3^{3ab}=\dfrac{1}{9}$ より,
\begin{align*}
&3ab=-2 \\[4pt]
&ab=-\dfrac{2}{3}~\cdots\cdots②
\end{align*}
①,②より $a,~b$ を解にもつ $x$ の2次方程式の1つは
\begin{align*}
x^2-2x-\dfrac{2}{3}=0
\end{align*}
となる。これより
\begin{align*}
&3x^2-6x-2=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{3\pm\sqrt{15}}{3}
\end{align*}
$a\geqq b$ より,$a=\dfrac{3+\sqrt{15}}{3}$

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