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2017年 センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

2017年 センター数学ⅡB 三角関数数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅡB 第1問三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅡB 三角関数連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
\cos2\alpha+\cos2\beta=\dfrac{4}{15} &\cdots\cdots① \\[4pt]
\cos\alpha\cos\beta=-\dfrac{2\sqrt{15}}{15} &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
を考える。ただし,$0\leqq\alpha\leqq\pi$, $0\leqq\beta\leqq\pi$ であり,$\alpha<\beta$ かつ
\begin{align*}
\abs{\cos\alpha}\geqq\abs{\cos\beta} \cdots\cdots③
\end{align*}
とする。このとき,$\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。
 2倍角の公式を用いると,①から
\begin{align*}
\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}
\end{align*}
が得られる。また,②から,$\cos^2\alpha\cos^2\beta=\dfrac{\myBox{オ}}{15}$ である。
 したがって,条件③を用いると
\begin{align*}
\cos^2\alpha=\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}},~\cos^2\beta=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}
\end{align*}
である。よって,②と条件 $0\leqq\alpha\leqq\pi$, $0\leqq\beta\leqq\pi$, $\alpha<\beta$ から
\begin{align*}
\cos\alpha=\dfrac{\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}}}{\myBox{シ}},~\cos\beta=\dfrac{\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セ}}}{\myBox{ソ}}
\end{align*}
である。
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

2倍角の公式を利用して①を変形しよう。

【ア~エの解答】
①より
\begin{align*}
&\cos2\alpha+\cos2\beta=\dfrac{4}{15} \\[4pt]
&(2\cos^2\alpha-1)+(2\cos^2\beta-1)=\dfrac{4}{15} \\[4pt]
&\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\dfrac{17}{15}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は②の両辺を2乗するだけの問題。

【オの解答】
②の両辺を2乗すると
\begin{align*}
&\cos^2\alpha\cos^2\beta=\dfrac{4}{15}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $\cos^2\alpha$ と $\cos^2\beta$ の値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

最初に,この2つの和を求めて,次に積を求めたから,和と積の値から,この2つの値を解にもつ2次方程式を立てて解くという有名な流れだと気付けるようになろう。

【カ~ケの解答】
$\cos^2\alpha$ と $\cos^2\beta$ を2解にもつ $t$ の2次方程式の1つは
\begin{align*}
t^2-\dfrac{17}{15}t+\dfrac{4}{15}=0
\end{align*}
である。これを変形して
\begin{align*}
&15t^2-17t+4=0 \\[4pt]
&(3t-1)(5t-4)=0 \\[4pt]
&t=\dfrac{1}{3},~\dfrac{4}{5}
\end{align*}
③より,$\cos^2\alpha>\cos^2\beta$ であるから
\begin{align*}
\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5},~\cos^2\beta=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

②を利用することが問題文から読み取れるが,何を読み取るかが重要。

ヒロ
ヒロ

積が負になっているから,$\cos\alpha$ と $\cos\beta$ が異符号であるとすぐに気付けるようにしたい。

ヒロ
ヒロ

あとは,$x$ が $0\leqq x\leqq\pi$ の範囲で増加するとき,$\cos x$ は 単調に減少することを考えて値を求めよう。

【コ~ソの解答】
$\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5},~\cos^2\beta=\dfrac{1}{3}$ より
\begin{align*}
\cos\alpha=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5},~\cos\beta=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}
\end{align*}
②より,$\cos\alpha\cos\beta<0$ であるから,$\cos\alpha$ と $\cos\beta$ は異符号である。$\alpha<\beta$ より,$\cos\alpha>0,~\cos\beta<0$ であるから
\begin{align*}
\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{5}}{5},~\cos\beta=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は空欄の形から,$\cos\beta=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}$ であることが分かる。しかし,この程度はすぐに判別できるくらいの実力を付けるべきだろう。

2017年 センター数学ⅡB 三角関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

最初は「2倍角の公式を用いると」と丁寧に誘導されているため,何をすれば良いか分からなくなることはない。したがって,$\myBox{オ}$ まではほとんどの人はスムーズに解けるだろう。

ヒロ
ヒロ

この後は,和と積の値から,解と係数の関係を用いて2次方程式を立てることに慣れている人にとっては簡単な問題に感じるだろう。

ヒロ
ヒロ

慣れていない人の場合は,$\cos^2\beta=\dfrac{17}{15}-\cos^2\alpha$ と変形して代入するのだろう。

ヒロ
ヒロ

どちらの解法でも,時間的にはそれほど変わらないのかもしれないが,個別試験に数学がある大学を受験する予定なら,この考え方を難なくできる実力を身に付けて欲しい。

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