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三角関数の合成と加法定理
ヒロ
それでは加法定理と合成の関係を確認しよう。
【加法定理と合成の関係】
例えば，$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を加法定理を用いて変形すると次のようになる。
その結果
例えば，$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を加法定理を用いて変形すると次のようになる。
\begin{align*}
\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta
\end{align*}
左辺と右辺を入れ換えると\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
となり，角が等しいサインとコサインの和を1つのサインで表す変形を「三角関数の合成」と呼んでいるだけである。上の式で $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の係数の2乗の和を計算すると\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=1
\end{align*}
を満たしているから，同じ角 $\dfrac{\pi}{3}$ を用いて\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=1
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
と表すことができる。\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
その結果
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \\[4pt]
&=\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
と書き換えることができる。さらにサインの加法定理を考えることによって&\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \\[4pt]
&=\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
となるから\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
となり，三角関数の合成をすることができる。\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{align*}
ヒロ
1問練習してみよう。
練習問題$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形で表せ。ただし，$r>0,~-\pi<\alpha<\pi$ とする。
【考え方と解答】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の係数に対して
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の係数に対して
\begin{align*}
\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1
\end{align*}
が成り立つから，同じ角を用いて，サインの係数をコサインで，コサインの係数をサインで表すことができる。実際\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1
\end{align*}
\begin{align*}
-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{5}{6}\pi
\end{align*}
と表せるから-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{5}{6}\pi
\end{align*}
\begin{align*}
&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta \\[4pt]
&=\sin\theta\cos\dfrac{5}{6}\pi+\cos\theta\sin\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&=\sin\left(\theta+\dfrac{5}{6}\pi\right)
\end{align*}
となる。&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta \\[4pt]
&=\sin\theta\cos\dfrac{5}{6}\pi+\cos\theta\sin\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&=\sin\left(\theta+\dfrac{5}{6}\pi\right)
\end{align*}