【数学ⅡB】三角関数の最大・最小 part2【関西医科大・玉川大・日本女子大】

ここでは，三角関数の最大最小問題について説明します。

三角関数の合成ができるようになると，様々な問題と出会うことになります。

誘導がなくても解けるようにしておくことが重要です。

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2020年関西医科大

2020年関西医科大$0\leqq\theta\leqq\pi$ のとき，関数 $y=4\sqrt{2}\cos\theta\sin\theta-4\cos\theta-4\sin\theta$ は $\theta=\myhako$ のときに最大値 $\myhako$ をとり，$\theta=\myhako$ のときに最小値 $\myhako$ をとる。

【考え方と解答】
　関数が与えられたときは，その関数がどのような特徴をもっているかを考えるようにしよう。今回の場合，与えられた関数は $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式になっていることに気付くようにしよう。このことに気付くと，$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表せることが分かる。
　ここで，$\sin\theta+\cos\theta=t$ とおくと，$\sin\theta\cos\theta$ が

\begin{align*}
\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}
\end{align*}

となることは常識にしておこう。また，文字を置き換えたときには，定義域に注意しよう。合成して調べよう。$t$ を変形すると

\begin{align*}
t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{align*}

となる。

$0\leqq\theta\leqq\pi$ のとき，$\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ であるから，

\begin{align*}
&-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq1 \\[4pt]&-1\leqq t\leqq\sqrt{2}
\end{align*}

$y$ を $t$ で表す。

\begin{align*}
y&=4\sqrt{2}\Cdota\dfrac{t^2-1}{2}-4t \\[4pt]&=2\sqrt{2}t^2-4t-2\sqrt{2} \\[4pt]&=2\sqrt{2}\left(t-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-3\sqrt{2}
\end{align*}

　$y$ は $t=-1$ のとき，最大となり，$t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき，最小となる。$t=-1$ のときの $x$ を求める。

\begin{align*}
\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}

であるから，$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi$ より，$x=\pi$
$t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときの $x$ を求める。

\begin{align*}
\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}

であるから，$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{6}\pi$ より，$x=\dfrac{7}{12}\pi$
　したがって，$\theta=\pi$ のとき，最大値4をとり，$\theta=\dfrac{7}{12}\pi$ のとき，最小値 $-3\sqrt{2}$ をとる。

2020年 関西医科大

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