【数学ⅡB】三角関数の合成【山梨大・愛知学院大】

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三角関数の合成の練習

練習問題次の式を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形で表せ。ただし，$r>0,~-\pi<\alpha<\pi$ とする。
(1) $\sin\theta+\cos\theta$
(2) $\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$
(3) $-\sin\theta+2\cos\theta$

【(1)の考え方と解答】
サインとコサインの係数の2乗の和を計算すると

\begin{align*}
1^2+1^2=2
\end{align*}

となり2になるから，係数を $\sqrt{2}$ で割れば良いことが分かる。$\sqrt{2}$ で割っただけでは

\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta
\end{align*}

となり，元の式と一致しないから，$\sqrt{2}$ をかけておく。これは結局「$\sqrt{係数の2乗の和}=\sqrt{2}$ でくくる」ことと同じである。

\begin{align*}
\sin\theta+\cos\theta&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right) \\[4pt]
&=\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \\[4pt]
&=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{align*}

(2) $\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$

【(2)の考え方と解答】
サインとコサインの係数の2乗の和を計算すると

\begin{align*}
(\sqrt{3})^2+(-1)^2=4
\end{align*}

となるから，2でくくって

\begin{align*}
\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta&=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta-\dfrac{1}{2}\cos\theta\right) \\[4pt]
&=2\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{6}-\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\[4pt]
&=2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{align*}

(3) $-\sin\theta+2\cos\theta$

【(3)の考え方と解答】
サインとコサインの係数の2乗の和を計算すると

\begin{align*}
(-1)^2+2^2=5
\end{align*}

となるから，$\sqrt{5}$ でくくって

\begin{align*}
-\sin\theta+2\cos\theta=\sqrt{5}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin\theta+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos\theta\right)
\end{align*}

ここで，(1)や(2)とは異なり

\begin{align*}
\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}},~\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}
\end{align*}

となる $\alpha$ を具体的に求めることができない。このような場合は，そのまま $\alpha$ を用いて表して，$\alpha$ がどのような角であるかを書けば良い。つまり次のように書けば良い。

\begin{align*}
-\sin\theta+2\cos\theta=\sqrt{5}\sin(\theta+\alpha)
\end{align*}

ただし，$\alpha$ は

\begin{align*}
\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}},~\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}
\end{align*}

をみたす角である。