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【数学ⅡB】三角関数の合成【山梨大・愛知学院大】

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三角関数の合成数学IAIIB

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三角関数の合成を速くする方法

ヒロ
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三角関数の合成をもっと素早くする方法を説明する。

 例として $-\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta$ の合成を考える。係数の2乗の和は
\begin{align*}
(-1)^2+(-\sqrt{3})^2=4
\end{align*}
であるから,2でくくって
\begin{align*}
-\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=2\left(-\dfrac{1}{2}\sin\theta-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)
\end{align*}
と変形するのが通常の方法である。ここで書き方を工夫する。「2でくくる」ことが分かった時点で合成後の係数が2であることが分かる。また,$\cos\theta$ の係数が負だから
\begin{align*}
-\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=2\sin(\theta-\alpha)
\end{align*}
と表せることが分かる。あとは $\alpha$ を求めれば良いが,$0<\alpha<~\pi$ として,$\sin\theta$ の係数だけで判断できる。つまり
\begin{align*}
\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
をみたす角 $\alpha$ を考えると,$\alpha=\dfrac{2}{3}\pi$ となるから
\begin{align*}
-\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=2\sin\left(\theta-\dfrac{2}{3}\pi\right)
\end{align*}
となる。この考え方では,$\cos\theta$ の係数は考えなくても自動的に合うため,時間の削減につながる。

コサインで合成することもできる

ヒロ
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サインの合成しか知らない人が多いため「コサインで合成」と言っても理解不能になるかもしれないが,問題によってはコサインで合成した方が考えやすくなるときもある。

ヒロ
ヒロ

サインの合成を理解できているなら,コサインの合成も簡単に理解できるだろう。

【コサインで合成】
 例えば $\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta$ をコサインで合成することを考える。基本的な考え方は今までと同じである。係数の2乗の和は
\begin{align*}
(\sqrt{3})^2+(-1)^2=4
\end{align*}
であるから,2でくくろう。
\begin{align*}
\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\dfrac{1}{2}\sin\theta\right)
\end{align*}
次にコサインの加法定理
\begin{align*}
\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha=\cos(\theta+\alpha)
\end{align*}
を考えて
\begin{align*}
\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\sin\alpha=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
となる $\alpha$ を探すと,$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ が見つかる。
したがって
\begin{align*}
&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\dfrac{1}{2}\sin\theta \\[4pt]
&=\cos\theta\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\theta\sin\dfrac{\pi}{6} \\[4pt]
&=\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta=2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{align*}
と変形できる。
ヒロ
ヒロ

問題に応じて,サイン合成とコサイン合成を使い分けられるようにすると良いだろう。

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