【数学ⅡB】三角関数を含む方程式【愛知学院大・自治医科大・東京理科大】

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2018年自治医科大

2018年自治医科大方程式 $x^3+x^2-x+a=0$（$a$ は実数）が虚数解 $\cos\theta+i\sin\theta$（$i^2=-1$）$\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ をもつとき，$a$ の値を求めよ。

ヒロ

3次方程式の解の1つが与えられた問題に対しては，様々な解法が考えられる。

ヒロ

次の記事では，1つの問題に対して4通りの解法を説明しているため，参考になるだろう。

【数学ⅡB】3次方程式の解と係数の関係【立教大】

ここでは3次方程式の解と係数の関係とそれに関する問題について説明します。意味を考えずに必死に覚えている人が多い気がします。展開の基礎がしっかりしていれば，覚えなくても，その場ですぐに「解と係数の関係」を導くことができます。 3次方程式の...

【考え方と解答】
ここでは「代入して工夫する方法」で説明する。
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\cos\theta+i\sin\theta\neq0$ であるから，

\begin{align*}
x^3+x^2-x+a=0~\cdots\cdots①
\end{align*}

の解 $x$ は0ではない。よって，①の両辺を $x$ で割って

\begin{align*}
x^2+x-1+\dfrac{a}{x}=0~\cdots\cdots②
\end{align*}

ここで

\begin{align*}
(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
\end{align*}

であるから，

\begin{align*}
\dfrac{1}{\cos\theta+i\sin\theta}=\cos\theta-i\sin\theta
\end{align*}

が成り立つ。よって，②に $x=\cos\theta+i\sin\theta$ を代入すると

\begin{align*}
&(\cos\theta+i\sin\theta)^2+(\cos\theta+i\sin\theta)-1+a(\cos\theta-i\sin\theta)=0 \\[4pt]&(\cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos\theta-1+a\cos\theta)+i(2\sin\theta\cos\theta+\sin\theta-a\sin\theta)=0 \\[4pt]&\{2\cos^2\theta+(a+1)\cos\theta-2\}+i\sin\theta(2\cos\theta+1-a)=0
\end{align*}

$\sin\theta$，$\cos\theta$，$a$ は実数であるから

\begin{align*}
\begin{cases}
2\cos^2\theta+(a+1)\cos\theta-2=0 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]\sin\theta(2\cos\theta+1-a)=0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\sin\theta\neq0$ であるから，④より，$\cos\theta=\dfrac{a-1}{2}$
このとき，③より

\begin{align*}
&2\left(\dfrac{a-1}{2}\right)^2+(a+1)\Cdota\dfrac{a-1}{2}-2=0 \\[4pt]&(a^2-2a+1)+(a^2-1)-4=0 \\[4pt]&a^2-a-2=0 \\[4pt]&(a-2)(a+1)=0 \\[4pt]&a=2,~-1
\end{align*}

$a=2$ のとき，$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ となり，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ として，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ が存在する。
$a=-1$ のとき，$\cos\theta=-1$ となるから，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ は存在しない。
　以上より，求める $a$ の値は $a=2$ である。

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