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2倍角の公式の導出
ヒロ
それでは2倍角の公式を導出しよう。
正弦の加法定理
\begin{align*}
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}
において，$\alpha=\beta=\theta$ とすると\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta \\[4pt]
&\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{align*}
また，余弦の加法定理&\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta \\[4pt]
&\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{align*}
\begin{align*}
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}
においても同様にすると\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}
\begin{align*}
&\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta \\[4pt]
&\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta
\end{align*}
ここで，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ であることから&\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta \\[4pt]
&\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 \\[4pt]
&\cos2\theta=1-2\sin^2\theta
\end{align*}
となる。最後に，正接の加法定理&\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 \\[4pt]
&\cos2\theta=1-2\sin^2\theta
\end{align*}
\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
において，同様にすると\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}
\begin{align*}
&\tan(\theta+\theta)=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} \\[4pt]
&\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\end{align*}
&\tan(\theta+\theta)=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} \\[4pt]
&\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\end{align*}
2倍角を含む不等式
2020年 南山大$0<x<\pi$ とする。不等式
\begin{align*} \cos^22x>\cos^2x-\sin^2x
\end{align*}
を解くと $\myhako$ である。\end{align*}
【考え方と解答】
角を $2x$ か $x$ のどちらかに統一して考えよう。どちらにも変形できるときは，次数が低くなるように変形するのが良いから，今回の場合は $2x$ に統一するのが良い。
$\cos^22x>\cos^2x-\sin^2x$ より
$0<2x<2\pi$ より，
角を $2x$ か $x$ のどちらかに統一して考えよう。どちらにも変形できるときは，次数が低くなるように変形するのが良いから，今回の場合は $2x$ に統一するのが良い。
$\cos^22x>\cos^2x-\sin^2x$ より
\begin{align*}
&\cos^22x>\cos2x \\[4pt]&\cos2x(\cos2x-1)>0
\end{align*}
$\cos2x-1<0$ だから，$\cos2x<0$&\cos^22x>\cos2x \\[4pt]&\cos2x(\cos2x-1)>0
\end{align*}
$0<2x<2\pi$ より，
\begin{align*} &\dfrac{\pi}{2}<2x<\dfrac{3}{2}\pi \\[4pt] &\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3}{4}\pi \end{align*}
2倍角の公式で値を求める問題
2014年 明治大$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ ならば，$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ であり，$\tan\dfrac{\theta}{4}=\sqrt{\myhako}-\myhako$ である。
【考え方と解答】
タンジェントの2倍角の公式を利用して値を求めよう。何度も $\tan\dfrac{\theta}{2}$ を書くことが予想できて面倒だと思う人は $x$ と置いて書く量を減らすと良いだろう。$\tan\dfrac{\theta}{2}=x$ とおくと
タンジェントの2倍角の公式を利用して値を求めよう。何度も $\tan\dfrac{\theta}{2}$ を書くことが予想できて面倒だと思う人は $x$ と置いて書く量を減らすと良いだろう。$\tan\dfrac{\theta}{2}=x$ とおくと
\begin{align*} &\tan\theta=\dfrac{2x}{1-x^2} \\[4pt] &\dfrac{3}{4}(1-x^2)=2x \\[4pt] &3x^2+8x-3=0 \\[4pt] &(x+3)(3x-1)=0 \\[4pt] &x=-3,~\dfrac{1}{3} \end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}$ であり，$x>0$ であるから $x=\dfrac{1}{3}$ となる。よって，\begin{align*}
\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
$\tan\dfrac{\theta}{4}=y$ とおくと\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
&\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2y}{1-y^2} \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}(1-y^2)=2y \\[4pt]
&y^2+6y-1=0 \\[4pt]
&y=-3\pm\sqrt{10}
\end{align*}
$0<\dfrac{\theta}{4}<\dfrac{\pi}{8}$ より，$y>0$ であるから，$y=-3+\sqrt{10}$ となる。よって，$\tan\dfrac{\theta}{4}=\sqrt{10}-3$&\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2y}{1-y^2} \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}(1-y^2)=2y \\[4pt]
&y^2+6y-1=0 \\[4pt]
&y=-3\pm\sqrt{10}
\end{align*}