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【数学ⅡB】常用対数と小数首位【南山大・福岡大】

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常用対数と小数首位数学IAIIB

1より小さい正の小数で初めて0でない数がどこで現れるか(小数首位)を求める方法について説明します。

桁数を求めるときに常用対数を利用したように,小数首位を求める問題でも常用対数を利用します。

桁数の考え方を理解していれば,小数首位の問題もそれほど苦労することなく解けるようになるでしょう。

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小数首位とは

ヒロ
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まず「小数首位」という言葉の意味を理解しておこう。

小数首位とは「小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れる」とき,「小数首位は第 $n$ 位である」という。
例えば,0.00567では,小数第3位に初めて0でない数字5が現れるから,小数首位は第3位である。

常用対数と小数首位の関係

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小数首位を求めるために,どのように常用対数を利用するのかを理解しよう。

【小数首位を求めるために常用対数を利用する】
 例えば1未満の正の数 $N$ の小数首位が第3位とすると,$0.001\leqq N<0.01$ となる。さらに変形すると
\begin{align*} 10^{-3}\leqq N<10^{-2} \end{align*}
となり,指数が1違いの10の累乗数で挟むことができる。ここから $N$ の桁数は左側の10の指数に $-1$ をかけた数と一致することが分かる。
 指数に着目し,直接扱うことができるようにするためには,対数をとるのが都合が良い。辺々の常用対数をとると
\begin{align*} &\log_{10}10^{-3}\leqq\log_{10}N<\log_{10}10^{-2} \\[4pt] &-3\leqq\leqq\log_{10}N<-2 \end{align*}
となり,左辺の3に $-1$ をかけた数が $N$ の小数首位を表していることが分かる。
 このことが常にいえるか,桁数を文字でおいて確かめよう。$N$ の小数首位を第 $m$ 位とすると
\begin{align*} 10^{-m}\leqq N<10^{-m+1} \end{align*}
を満たす。辺々の常用対数をとると
\begin{align*} -m\leqq\log_{10}N<-m+1 \end{align*}
となり,左辺の $-m$ に $-1$ をかけた数 $m$ が $N$ の小数首位と一致することが確認できる。
ヒロ
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上の話をまとめると次のようになる。

小数首位$N$ の小数首位を調べたいときは,$\log_{10}N$ の近似値を求めて,
\begin{align*} -m\leqq\log_{10}N<-m+1 \end{align*}
となる整数 $m$ を求めよう。
\begin{align*} 10^{-m}\leqq N<10^{-m+1} \end{align*}
となるから,$N$ の小数首位は第 $m$ 位である。

2020年 南山大

2020年 南山大$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$ とする。このとき,$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{100}$ を小数で表すと,小数第 $\myhako$ 位に初めて0でない数字が現れる。
【考え方と解答】
常用対数をとって,真数を2,3,10の積や商で表すことを考えよう。$N=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{100}$ とおくと
\begin{align*}
\log_{10}N&=100\log_{10}\dfrac{5}{6} \\[4pt]
&=100\log_{10}\dfrac{10}{2^2\Cdot3} \\[4pt]
&=100(1-2\log_{10}2-\log_{10}3) \\[4pt]
&=100(1-2\times0.3010-0.4771) \\[4pt]
&=-7.91
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
&-8<\log_{10}N<-7 \\[4pt] &10^{-8}<N<10^{-7} \end{align*}
よって,$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{100}$ を小数で表すと,小数第8位に初めて0でない数字が現れる。

2012年 福岡大

2012年 福岡大$a=3^{96}$ のとき,$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ は,小数第 $\myhako$ 位に初めて0でない数字が現れる。ただし,$\log_{10}3=0.4771$ とする。
【考え方と解答】
考える数が根号を含む分数でも焦らないようにしよう。
\begin{align*}
\log_{10}\dfrac{1}{\sqrt{a}}&=\log_{10}a^{-\frac{1}{2}} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2}\log_{10}3^{96} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2}\times96\log_{10}3 \\[4pt]
&=-48\times0.4771 \\[4pt]
&=-22.9008
\end{align*}
よって
\begin{align*}
&-23<\log_{10}\dfrac{1}{\sqrt{a}}<-22 \\[4pt] &10^{-23}<\dfrac{1}{\sqrt{a}}<10^{-22} \end{align*}
となるから,小数第23位に初めて0でない数が現れる。
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